同济高数 第8章 第8-3-4题
📝 题目
4．指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）$x=0$ ；
（2） $3 y-1=0$ ；
（3） $2 x-3 y-6=0$ ；
（4）$x-\sqrt{3} y=0$ ；
（5）$y+z=1$ ；
（6）$x-2 z=0$ ；
（7） $6 x+5 y-z=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题8-3 第4题解答
下面依次指出各平面的特殊位置，并给出简要说明。
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（1）$ x = 0 $
该方程表示所有满足 $ x = 0 $ 的点，即 $ yOz $ 坐标平面。
特殊位置：**过原点且垂直于 $ x $ 轴的平面（即坐标平面 $ yOz $）**。
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（2）$ 3y - 1 = 0 $
化为 $ y = \frac{1}{3} $。
该平面平行于 $ xOz $ 平面，且与 $ y $ 轴交于 $ \frac{1}{3} $。
特殊位置：**平行于 $ xOz $ 坐标平面**。
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（3）$ 2x - 3y - 6 = 0 $
化为 $ 2x - 3y = 6 $。
缺少 $ z $ 项，因此平面平行于 $ z $ 轴。
特殊位置：**平行于 $ z $ 轴的平面**。
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（4）$ x - \sqrt{3} y = 0 $
化为 $ x = \sqrt{3} y $，缺少 $ z $ 项，所以平面平行于 $ z $ 轴，且过原点。
特殊位置：**过 $ z $ 轴的平面**（因为 $ z $ 任意，且 $ (0,0,0) $ 满足方程）。
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（5）$ y + z = 1 $
缺少 $ x $ 项，因此平面平行于 $ x $ 轴。
特殊位置：**平行于 $ x $ 轴的平面**。
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（6）$ x - 2z = 0 $
化为 $ x = 2z $，缺少 $ y $ 项，所以平面平行于 $ y $ 轴，且过原点。
特殊位置：**过 $ y $ 轴的平面**。
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（7）$ 6x + 5y - z = 0 $
方程不含常数项，因此平面过原点。
特殊位置：过原点的平面（且法向量为 $ (6,5,-1) $）。
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图形说明（此处仅作文字描述，实际作图可在坐标轴上标出截距或法线方向）：
- (1) 就是 $ yOz $ 平面；
- (2) 是平行于 $ xOz $ 且高度 $ y=1/3 $ 的平面；
- (3) 在 $ xy $ 平面上是一条直线 $ 2x-3y=6 $，沿 $ z $ 方向拉伸；
- (4) 在 $ xy $ 平面过原点斜率为 $ 1/\sqrt{3} $ 的直线，沿 $ z $ 方向拉伸；
- (5) 在 $ yz $ 平面是一条斜线，沿 $ x $ 方向拉伸；
- (6) 在 $ xz $ 平面过原点斜率为 2 的直线，沿 $ y $ 方向拉伸；
- (7) 过原点，法向量为 $ (6,5,-1) $。
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这样就完成了所有平面的特殊位置判断。