同济高数 第8章 第8-4-10题

[AI解答]

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习题8-4 第10题：判断直线与平面的位置关系（平行、垂直、相交等）。

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（1）
直线：
$$
\frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}
$$
方向向量为
$$
\vec{s}=(-2,-7,3)
$$
平面：
$$
4x-2y-2z=3
$$
法向量为
$$
\vec{n}=(4,-2,-2)
$$
计算点积：
$$
\vec{s}\cdot\vec{n}=(-2)\cdot4+(-7)\cdot(-2)+3\cdot(-2)=-8+14-6=0
$$
点积为零，说明直线方向与平面法向量垂直，即直线与平面平行或直线在平面内。
取直线上一点 $(-3,-4,0)$，代入平面方程左边：
$$
4(-3)-2(-4)-2(0)=-12+8+0=-4\neq3
$$
故点不在平面上，因此直线与平面平行。

结论：平行。

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（2）
直线：
$$
\frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}
$$
方向向量：
$$
\vec{s}=(3,-2,7)
$$
平面：
$$
3x-2y+7z=8
$$
法向量：
$$
\vec{n}=(3,-2,7)
$$
显然 $\vec{s}$ 与 $\vec{n}$ 平行（成比例），故直线垂直于平面。
取直线上一点 $(0,0,0)$，代入平面方程得 $0\neq8$，故直线与平面相交且垂直。

结论：垂直相交。

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（3）
直线：
$$
\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}
$$
方向向量：
$$
\vec{s}=(3,1,-4)
$$
平面：
$$
x+y+z=3
$$
法向量：
$$
\vec{n}=(1,1,1)
$$
点积：
$$
\vec{s}\cdot\vec{n}=3\cdot1+1\cdot1+(-4)\cdot1=3+1-4=0
$$
故直线与平面平行或直线在平面内。
取直线上一点 $(2,-2,3)$，代入平面方程：
$$
2+(-2)+3=3
$$
满足方程，因此该点在平面上，故直线在平面内。

结论：直线在平面内。

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最终答案：
（1）平行；
（2）垂直相交；
（3）直线在平面内。