同济高数 第8章 第8-4-13题

[AI解答]

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第一步：确定直线的方向向量
直线由两个平面方程的交线给出，其方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两个平面的法向量。
平面1的法向量：$\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$
平面2的法向量：$\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$
方向向量为：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1\cdot1 - (-1)(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot1 - (-1)\cdot2) + \mathbf{k}(1\cdot(-1) - 1\cdot2)
$$
计算：
$$
= \mathbf{i}(1 - 1) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(-1 - 2) = (0, -3, -3)
$$
可简化为 $\vec{s} = (0, 1, 1)$（方向不变）。

**第二步：在直线上取一点 $M_0$**
令 $x = 0$，代入直线方程：
$$
\begin{cases}
0 + y - z + 1 = 0 \\
0 - y + z - 4 = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
y - z = -1 \\
-y + z = 4
\end{cases}
$$
两式相加得 $0 = 3$，矛盾，说明 $x=0$ 不在直线上。
令 $z = 0$，则：
$$
\begin{cases}
x + y + 1 = 0 \\
2x - y - 4 = 0
\end{cases}
$$
相加得 $3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$，代入得 $1 + y + 1 = 0 \Rightarrow y = -2$。
所以取点 $M_0(1, -2, 0)$。

**第三步：计算向量 $\overrightarrow{M_0P}$**
$$
\overrightarrow{M_0P} = (3-1,\ -1+2,\ 2-0) = (2, 1, 2)
$$

第四步：利用点到直线的距离公式
距离公式：
$$
d = \frac{|\overrightarrow{M_0P} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}
$$
先计算叉积：
$$
\overrightarrow{M_0P} \times \vec{s} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1\cdot1 - 2\cdot1) - \mathbf{j}(2\cdot1 - 2\cdot0) + \mathbf{k}(2\cdot1 - 1\cdot0)
$$
$$
= \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(2 - 0) + \mathbf{k}(2 - 0) = (-1, -2, 2)
$$
其模长：
$$
|\overrightarrow{M_0P} \times \vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$
方向向量模长：
$$
|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$

第五步：计算距离
$$
d = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
$$

因此，点 $P$ 到直线的距离为 $\boxed{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$。