同济高数 第8章 第8-4-15题

[AI解答]

[AI解答]

第一步：确定直线的方向向量
给定直线由两个平面方程联立：
$$
\begin{cases}
2x - 4y + z = 0, \\
3x - y - 2z - 9 = 0.
\end{cases}
$$
两平面的法向量分别为：
$$
\mathbf{n}_1 = (2, -4, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (3, -1, -2).
$$
直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于这两个法向量，因此：
$$
\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -4 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-4)(-2) - (1)(-1)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (1)(3)) + \mathbf{k}((2)(-1) - (-4)(3)).
$$
计算：
$$
\mathbf{i}: \quad 8 + 1 = 9, \quad
\mathbf{j}: \quad -4 - 3 = -7 \quad (\text{注意前面有负号，所以变为 } +7), \quad
\mathbf{k}: \quad -2 + 12 = 10.
$$
因此：
$$
\mathbf{s} = (9, 7, 10).
$$

第二步：求直线上一点
令 $z = 0$，则方程组变为：
$$
\begin{cases}
2x - 4y = 0, \\
3x - y = 9.
\end{cases}
$$
由第一式得 $x = 2y$，代入第二式：
$$
3(2y) - y = 9 \quad \Rightarrow \quad 6y - y = 9 \quad \Rightarrow \quad 5y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{9}{5}.
$$
于是 $x = 2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{18}{5}$。
所以直线上一点为：
$$
M_0\left(\frac{18}{5}, \frac{9}{5}, 0\right).
$$

第三步：构造过直线的平面束并求投影平面
过已知直线的平面束方程为：
$$
(2x - 4y + z) + \lambda(3x - y - 2z - 9) = 0.
$$
整理得：
$$
(2 + 3\lambda)x + (-4 - \lambda)y + (1 - 2\lambda)z - 9\lambda = 0.
$$
我们要求此平面束中与给定平面 $4x - y + z = 1$ 垂直的平面。
给定平面的法向量为 $\mathbf{n}_p = (4, -1, 1)$。
两平面垂直的条件是它们的法向量点积为零：
$$
(2 + 3\lambda) \cdot 4 + (-4 - \lambda) \cdot (-1) + (1 - 2\lambda) \cdot 1 = 0.
$$
计算：
$$
8 + 12\lambda + 4 + \lambda + 1 - 2\lambda = 0,
$$
$$
(8+4+1) + (12\lambda + \lambda - 2\lambda) = 13 + 11\lambda = 0,
$$
解得：
$$
\lambda = -\frac{13}{11}.
$$

第四步：得到投影平面方程
将 $\lambda = -\frac{13}{11}$ 代入平面束方程：
$$
\left(2 + 3\cdot\left(-\frac{13}{11}\right)\right)x + \left(-4 - \left(-\frac{13}{11}\right)\right)y + \left(1 - 2\cdot\left(-\frac{13}{11}\right)\right)z - 9\left(-\frac{13}{11}\right) = 0.
$$
分别计算系数：
$$
2 - \frac{39}{11} = \frac{22 - 39}{11} = -\frac{17}{11},
$$
$$
-4 + \frac{13}{11} = \frac{-44 + 13}{11} = -\frac{31}{11},
$$
$$
1 + \frac{26}{11} = \frac{11 + 26}{11} = \frac{37}{11},
$$
常数项：
$$
\frac{117}{11}.
$$
因此方程为：
$$
-\frac{17}{11}x - \frac{31}{11}y + \frac{37}{11}z + \frac{117}{11} = 0,
$$
乘以 11 得：
$$
-17x - 31y + 37z + 117 = 0,
$$
或写为：
$$
17x + 31y - 37z = 117.
$$

第五步：投影直线方程
投影直线是投影平面与给定平面 $4x - y + z = 1$ 的交线，故方程为：
$$
\boxed{\begin{cases}
17x + 31y - 37z = 117, \\
4x - y + z = 1.
\end{cases}}
$$