同济高数 第8章 第8-5-7题

[AI解答]

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题目：将 $xOy$ 坐标面上的双曲线 $4x^{2} - 9y^{2} = 36$ 分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

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1. 绕 $x$ 轴旋转

在 $xOy$ 平面上，曲线方程为
$$
4x^{2} - 9y^{2} = 36
$$
绕 $x$ 轴旋转时，$x$ 坐标不变，$y$ 被替换为 $\sqrt{y^{2} + z^{2}}$（因为旋转半径是到 $x$ 轴的距离）。因此，将原方程中的 $y^{2}$ 换成 $y^{2} + z^{2}$，得到旋转曲面方程：

$$
4x^{2} - 9(y^{2} + z^{2}) = 36
$$

整理为标准形式：
$$
4x^{2} - 9y^{2} - 9z^{2} = 36
$$
或
$$
\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2} + z^{2}}{4} = 1
$$

这是一个旋转双曲面（双叶双曲面，绕实轴 $x$ 轴旋转）。

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2. 绕 $y$ 轴旋转

绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 坐标不变，$x$ 被替换为 $\sqrt{x^{2} + z^{2}}$。因此，将原方程中的 $x^{2}$ 换成 $x^{2} + z^{2}$，得到：

$$
4(x^{2} + z^{2}) - 9y^{2} = 36
$$

整理得：
$$
4x^{2} + 4z^{2} - 9y^{2} = 36
$$
或
$$
\frac{x^{2} + z^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1
$$

这是一个旋转单叶双曲面（绕虚轴 $y$ 轴旋转）。

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最终答案：
- 绕 $x$ 轴：$4x^{2} - 9y^{2} - 9z^{2} = 36$
- 绕 $y$ 轴：$4x^{2} + 4z^{2} - 9y^{2} = 36$