同济高数 第9章 第9-1-1题

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习题9-1 解答

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（1）$\{(x, y) \mid x \neq 0, y \neq 0\}$

- 开集、闭集判定：
该集合为去掉坐标轴的所有点，不含边界（坐标轴上的点），因此是开集。
不是闭集，因为其补集 $\{x=0\}\cup\{y=0\}$ 不是开集（边界点不在集合内，但极限点存在）。

- 区域：
它是开集，且是连通的（任意两点可用不含坐标轴的折线连接），因此是区域。

- 有界/无界：
点可以取任意大的坐标，因此是无界集。

- 导集（聚点集）：
整个平面 $\mathbb{R}^2$ 中任意点都是该集合的聚点，因为坐标轴上的点也是聚点（邻域内总含有非零坐标的点）。
所以导集为 $\mathbb{R}^2$。

- 边界：
边界为两条坐标轴：$\{x=0\} \cup \{y=0\}$。

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（2）$\left\{(x, y) \mid 1\lt x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$

- 开集、闭集判定：
边界 $x^2+y^2=1$ 上的点不在集合中，$x^2+y^2=4$ 上的点在集合中，因此既不是开集也不是闭集。

- 区域：
不是开集，因此不是区域（区域要求是开集）。

- 有界/无界：
所有点满足 $x^2+y^2 \le 4$，因此是有界集。

- 导集：
闭圆环 $1 \le x^2+y^2 \le 4$ 中的每一点都是聚点（包括内边界 $x^2+y^2=1$ 上的点，因为其任何邻域内都有集合中的点）。
所以导集为 $\{ (x,y) \mid 1 \le x^2+y^2 \le 4 \}$。

- 边界：
两个圆周：$x^2+y^2=1$ 和 $x^2+y^2=4$。

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（3）$\left\{(x, y) \mid y\gt x^{2}\right\}$

- 开集、闭集判定：
边界为抛物线 $y=x^2$，集合不含边界，因此是开集。

- 区域：
开集且连通（抛物线以上区域是连通的），因此是区域。

- 有界/无界：
点可以取任意大的 $x$ 和 $y$，因此是无界集。

- 导集：
闭区域 $\{ (x,y) \mid y \ge x^2 \}$ 中每一点都是聚点（边界上的点邻域内总有 $y > x^2$ 的点）。
所以导集为 $\{ (x,y) \mid y \ge x^2 \}$。

- 边界：
抛物线 $y = x^2$。

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（4）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2} \geqslant 1\right\} \cap\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-2)^{2} \leqslant 4\right\}$

- 几何意义：
第一个集合：圆盘外（含边界），圆心 $(0,1)$，半径 $1$。
第二个集合：圆盘内（含边界），圆心 $(0,2)$，半径 $2$。
交集为两圆盘重叠区域中，去掉小圆内部，保留小圆边界及以外、大圆以内的部分。

- 开集、闭集判定：
两个集合都是闭集（含边界），交集为闭集，因此是闭集。

- 区域：
不是开集，因此不是区域。

- 有界/无界：
所有点都在大圆内，因此是有界集。

- 导集：
闭集包含所有聚点，因此导集等于它自身。

- 边界：
由两部分组成：
小圆边界 $x^2+(y-1)^2 = 1$ 中位于大圆内的部分，以及大圆边界 $x^2+(y-2)^2 = 4$ 中位于小圆外的部分。

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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察点集拓扑基本概念，需仔细区分边界与聚点，但无复杂计算。）