同济高数 第9章 第9-1-3题
📝 题目
3．试证函数 $F(x, y)=\ln x \cdot \ln y$ 满足关系式
$$
F(x y, u v)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v) .
$$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知函数
$$
F(x, y) = \ln x \cdot \ln y.
$$
要证明对于任意正数 $x, y, u, v$，有
$$
F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v).
$$
证明步骤：
首先，由定义写出左边：
$$
F(xy, uv) = \ln(xy) \cdot \ln(uv).
$$
利用对数的性质：
$$
\ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln(uv) = \ln u + \ln v.
$$
因此，
$$
F(xy, uv) = (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v).
$$
展开乘积：
$$
(\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v) = \ln x \cdot \ln u + \ln x \cdot \ln v + \ln y \cdot \ln u + \ln y \cdot \ln v.
$$
由函数定义，每一项恰好是：
$$
\ln x \cdot \ln u = F(x, u), \quad \ln x \cdot \ln v = F(x, v), \quad \ln y \cdot \ln u = F(y, u), \quad \ln y \cdot \ln v = F(y, v).
$$
因此，
$$
F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v).
$$
证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出左边表达式
由函数定义，左边为 F(xy, uv) = ln(xy) * ln(uv)。
公式：F(x, y) = ln x * ln y
步骤 2/4
目标：利用对数性质化简
根据对数加法性质，ln(xy) = ln x + ln y，ln(uv) = ln u + ln v。代入得 (ln x + ln y)(ln u + ln v)。
公式：ln(ab) = ln a + ln b
步骤 3/4
目标：展开乘积
将 (ln x + ln y)(ln u + ln v) 展开为 ln x * ln u + ln x * ln v + ln y * ln u + ln y * ln v。
公式：(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
步骤 4/4
目标：用函数表示各项
根据定义，ln x * ln u = F(x, u)，ln x * ln v = F(x, v)，ln y * ln u = F(y, u)，ln y * ln v = F(y, v)。因此左边等于右边。
公式：F(x, y) = ln x * ln y
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。