同济高数 第9章 第9-1-5题

[AI解答]

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以下为各小题定义域的求解过程：

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（1） $z=\ln \left(y^{2}-2 x+1\right)$
对数函数要求真数大于0：
$$y^{2}-2x+1>0$$
即
$$y^{2}>2x-1$$
所以定义域为
$$\{(x,y)\mid y^{2}>2x-1\}$$

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（2） $\displaystyle z=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x-y}}$
分母不能为零，且根号内非负，因此：
$$\begin{cases}
x+y>0\\
x-y>0
\end{cases}$$
即
$$x>|y|$$
所以定义域为
$$\{(x,y)\mid x>|y|\}$$

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（3） $z=\sqrt{x-\sqrt{y}}$
外层根号内非负，且内层根号要求 $y\ge 0$：
$$\begin{cases}
y\ge 0\\
x-\sqrt{y}\ge 0
\end{cases}$$
即
$$x\ge \sqrt{y},\quad y\ge 0$$
所以定义域为
$$\{(x,y)\mid y\ge 0,\; x\ge \sqrt{y}\}$$

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（4） $\displaystyle z=\ln (y-x)+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$
对数要求 $y-x>0$；
分子根号要求 $x\ge 0$；
分母根号要求 $1-x^{2}-y^{2}>0$（分母不为零）。
因此：
$$\begin{cases}
y>x\\
x\ge 0\\
x^{2}+y^{2}<1
\end{cases}$$
所以定义域为
$$\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y>x,\; x^{2}+y^{2}<1\}$$

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（5） $\displaystyle u=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad R>r>0$
第一项根号要求 $R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0$，即
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}$$
第二项分母根号要求 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}>0$，即
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}>r^{2}$$
因此定义域为
$$\{(x,y,z)\mid r^{2}

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（6） $\displaystyle u=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
反余弦函数的定义域为 $[-1,1]$，因此
$$-1\le \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le 1$$
即
$$\left|\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le 1$$
等价于
$$|z|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$
另外分母 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$，即 $x^{2}+y^{2}\neq 0$。
所以定义域为
$$\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}>0,\; |z|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\}$$