同济高数 第9章 第9-1-*9题
📝 题目
＊9．证明 $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0,
$$
我们使用夹逼准则（或极坐标变换法）。
方法一：极坐标变换
令
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
$$
其中 $ r = \sqrt{x^2+y^2} > 0 $，则
$$
\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} = r\cos\theta\sin\theta.
$$
由于 $|\cos\theta\sin\theta| \le \frac12$，因此
$$
\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| = |r\cos\theta\sin\theta| \le \frac{r}{2}.
$$
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$r\to 0$，所以
$$
0 \le \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le \frac{r}{2} \to 0,
$$
由夹逼准则得极限为 0。
方法二：直接不等式
注意到
$$
|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2},
$$
因此
$$
\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}.
$$
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 0，故原极限为 0。
综上，
$$
\boxed{\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0}.
$$
难度：★☆☆☆☆