同济高数 第9章 第9-10-1题
📝 题目
1．某种合金的含铅量百分比（\％）为 $p$ ，其熔解温度（ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）为 $\theta$ ，由实验测得 $p$ 与 $\theta$ 的数据如下表：
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
\hline$p / \%$ & 36.9 & 46.7 & 63.7 & 77.8 & 84.0 & 87.5 \\
\hline$\theta /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ & 181 & 197 & 235 & 270 & 283 & 292 \\
\hline
\end{tabular}
试用最小二乘法建立 $\theta$ 与 $p$ 之间的经验公式 $\theta=a p+b$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用最小二乘法拟合直线 $\theta = a p + b$。已知数据点 $(p_i, \theta_i)$ 如下：
$$
\begin{array}{c|c}
p_i & \theta_i \\ \hline
36.9 & 181 \\
46.7 & 197 \\
63.7 & 235 \\
77.8 & 270 \\
84.0 & 283 \\
87.5 & 292
\end{array}
$$
最小二乘法的目标是使误差平方和最小，即求
$$
S(a,b) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\theta_i - a p_i - b)^2
$$
的最小值。由极值条件 $\displaystyle\frac{\partial S}{\partial a}=0$ 和 $\displaystyle\frac{\partial S}{\partial b}=0$ 得到正规方程组：
$$
\begin{cases}
\displaystyle b n + a \sum p_i = \sum \theta_i \$$1em]
\displaystyle b \sum p_i + a \sum p_i^2 = \sum p_i \theta_i
\end{cases}
$$
其中 $n=6$。先计算各求和：
$$
\begin{aligned}
\sum p_i &= 36.9 + 46.7 + 63.7 + 77.8 + 84.0 + 87.5 = 396.6 \\
\sum \theta_i &= 181 + 197 + 235 + 270 + 283 + 292 = 1458 \\
\sum p_i^2 &= 36.9^2 + 46.7^2 + 63.7^2 + 77.8^2 + 84.0^2 + 87.5^2 \\
&= 1361.61 + 2180.89 + 4057.69 + 6052.84 + 7056 + 7656.25 = 28365.28 \\
\sum p_i \theta_i &= 36.9\times181 + 46.7\times197 + 63.7\times235 + 77.8\times270 + 84.0\times283 + 87.5\times292 \\
&= 6678.9 + 9199.9 + 14969.5 + 21006 + 23772 + 25550 = 101176.3
\end{aligned}
$$
代入正规方程组：
$$
\begin{cases}
6b + 396.6a = 1458 \\
396.6b + 28365.28a = 101176.3
\end{cases}
$$
由第一式得：
$$
b = \frac{1458 - 396.6a}{6}
$$
代入第二式：
$$
396.6 \cdot \frac{1458 - 396.6a}{6} + 28365.28a = 101176.3
$$
先计算常数项：
$$
\frac{396.6 \times 1458}{6} = \frac{578242.8}{6} = 96373.8
$$
所以方程变为：
$$
96373.8 - \frac{396.6^2}{6}a + 28365.28a = 101176.3
$$
其中
$$
\frac{396.6^2}{6} = \frac{157291.56}{6} = 26215.26
$$
于是：
$$
96373.8 + (28365.28 - 26215.26)a = 101176.3
$$
$$
96373.8 + 2150.02a = 101176.3
$$
$$
2150.02a = 4802.5
$$
$$
a \approx \frac{4802.5}{2150.02} \approx 2.2337
$$
再求 $b$：
$$
b = \frac{1458 - 396.6 \times 2.2337}{6} = \frac{1458 - 885.8}{6} \approx \frac{572.2}{6} \approx 95.37
$$
因此经验公式为：
$$
\boxed{\theta \approx 2.23p + 95.4}
$$
（保留三位有效数字）
难度：★★☆☆☆