同济高数 第9章 第9-2-1题
📝 题目
1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要求偏导数 $ f_x(0,0) $ 和 $ f_y(0,0) $，函数为
$$
f(x, y) = e^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}.
$$
由于在 $(0,0)$ 点处，根号内为0，指数为1，函数值 $ f(0,0)=1 $。但直接求偏导公式在 $(0,0)$ 处可能不适用，因为根号内函数在原点处不可微，因此我们用偏导数的定义：
**步骤1：求 $ f_x(0,0) $**
由定义：
$$
f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}.
$$
代入 $ y=0 $：
$$
f(h,0) = e^{\sqrt{h^{2}+0}} = e^{|h|}.
$$
因此：
$$
f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{|h|} - 1}{h}.
$$
当 $ h \to 0^+ $ 时，$ |h| = h $，极限为：
$$
\lim_{h \to 0^+} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1.
$$
当 $ h \to 0^- $ 时，$ |h| = -h $，极限为：
$$
\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h}.
$$
令 $ t = -h $，则 $ t \to 0^+ $，上式变为：
$$
\lim_{t \to 0^+} \frac{e^{t} - 1}{-t} = -1.
$$
左右极限不相等，因此极限不存在，即 $ f_x(0,0) $ 不存在。
**步骤2：求 $ f_y(0,0) $**
由定义：
$$
f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}.
$$
代入 $ x=0 $：
$$
f(0,k) = e^{\sqrt{0 + k^{4}}} = e^{k^{2}}.
$$
因此：
$$
f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{e^{k^{2}} - 1}{k}.
$$
利用等价无穷小 $ e^{k^{2}} - 1 \sim k^{2} $（当 $ k \to 0 $），得：
$$
\lim_{k \to 0} \frac{k^{2}}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0.
$$
因此 $ f_y(0,0) = 0 $。
最终答案：
$$
\boxed{f_x(0,0)\ \text{不存在},\quad f_y(0,0)=0}.
$$
难度：★★☆☆☆