同济高数 第9章 第9-2-5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知函数
$$
f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}.
$$
要求 $ f_x(x, 1) $，即先对 $x$ 求偏导，再将 $y=1$ 代入。
第一步：对 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数）。
$$
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left[ x \right] + \frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} \right].
$$
第一项导数为 $1$。
第二项中 $(y-1)$ 是常数因子，所以只需对 $\arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ 求导。
令
$$
u = \sqrt{\frac{x}{y}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1/2},
$$
则
$$
\frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}.
$$
而
$$
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2y} \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}.
$$
因此
$$
\frac{\partial}{\partial x} \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}}.
$$
化简分母：
$$
\sqrt{1 - \frac{x}{y}} = \sqrt{\frac{y-x}{y}} = \frac{\sqrt{y-x}}{\sqrt{y}}.
$$
于是
$$
\frac{\partial}{\partial x} \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}.
$$
所以
$$
f_x(x, y) = 1 + (y-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}.
$$
第二步：代入 $y=1$。
注意此时第二项因子 $(y-1)=0$，因此
$$
f_x(x, 1) = 1 + 0 = 1.
$$
这里无需考虑分母是否为零，因为零因子直接消去。
因此最终结果为
$$
\boxed{1}.
$$
难度评级：★☆☆☆☆（直接求偏导，代入后零因子消去，计算简单）