同济高数 第9章 第9-2-9题
📝 题目
9．设 $z=x \ln (x y)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}$ 及 $\displaystyle \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知函数
$$
z = x \ln(xy)
$$
首先，将函数改写为便于求导的形式：
$$
z = x \left[ \ln x + \ln y \right] = x \ln x + x \ln y
$$
**第一步：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$**
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} + \ln y = \ln x + 1 + \ln y
$$
**第二步：求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$**
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln x + 1 + \ln y) = \frac{1}{x}
$$
**第三步：求 $\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}$**
先对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x} \right) = 0
$$
因此
$$
\boxed{0}
$$
**第四步：求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$**
由第一步结果：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \ln x + 1 + \ln y
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{y}
$$
**第五步：求 $\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}$**
对 $y$ 再求一次偏导：
$$
\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} \right) = -\frac{1}{y^2}
$$
因此
$$
\boxed{-\frac{1}{y^{2}}}
$$
最终答案：
$$
\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y} = 0,\quad \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}} = -\frac{1}{y^{2}}
$$
难度：★☆☆☆☆