同济高数 第9章 第9-3-*11题
📝 题目
＊11．测得一块三角形土地的两边边长分别为 $(63 \pm 0.1) \mathrm{m}$ 和 $(78 \pm 0.1) \mathrm{m}$ ，这两边的夹角为 $60^{\circ} \pm 1^{\circ}$ ．试求这块三角形土地面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知三角形面积公式为
$$
S = \frac12 ab\sin\theta
$$
其中
$a = 63\,\mathrm{m}$，$b = 78\,\mathrm{m}$，$\theta = 60^\circ$。
先计算面积的近似值：
$$
S \approx \frac12 \times 63 \times 78 \times \sin 60^\circ
= \frac12 \times 63 \times 78 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{63 \times 78 \times \sqrt{3}}{4}
$$
计算数值：
$63 \times 78 = 4914$，
$\sqrt{3} \approx 1.73205$，
所以
$$
S \approx \frac{4914 \times 1.73205}{4}
= \frac{8512.0}{4} \ (\text{近似})
= 2128.0\ \mathrm{m}^2
$$
更精确计算：
$4914 \times 1.73205 = 4914 \times 1.73205 = 4914\times 1.7 = 8353.8$，加上 $4914\times 0.03205 \approx 157.5$，总和约8511.3，除以4得 $2127.825$，取 $S \approx 2128\ \mathrm{m}^2$。
---
误差估计
设
$$
S = \frac12 a b \sin\theta
$$
取全微分：
$$
dS = \frac12 b\sin\theta\, da + \frac12 a\sin\theta\, db + \frac12 a b \cos\theta\, d\theta
$$
注意 $d\theta$ 需用弧度。
已知：
$\Delta a = 0.1,\ \Delta b = 0.1,\ \Delta\theta = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.0174533$ 弧度。
代入数值：
$$
\frac{\partial S}{\partial a} = \frac12 b\sin\theta = \frac12 \times 78 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{78\sqrt{3}}{4} \approx \frac{78\times 1.73205}{4} = \frac{135.0999}{4} \approx 33.775
$$
$$
\frac{\partial S}{\partial b} = \frac12 a\sin\theta = \frac12 \times 63 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{63\sqrt{3}}{4} \approx \frac{109.119}{4} \approx 27.280
$$
$$
\frac{\partial S}{\partial \theta} = \frac12 a b \cos\theta = \frac12 \times 63 \times 78 \times \frac12 = \frac{63\times 78}{4} = \frac{4914}{4} = 1228.5
$$
于是绝对误差为
$$
\Delta S \approx \left| \frac{\partial S}{\partial a} \right| \Delta a + \left| \frac{\partial S}{\partial b} \right| \Delta b + \left| \frac{\partial S}{\partial \theta} \right| \Delta\theta
$$
$$
\Delta S \approx 33.775 \times 0.1 + 27.280 \times 0.1 + 1228.5 \times 0.0174533
$$
计算各项：
$33.775 \times 0.1 = 3.3775$
$27.280 \times 0.1 = 2.7280$
$1228.5 \times 0.0174533 \approx 1228.5 \times 0.01745 \approx 21.44$（精确：1228.5 × 0.0174533 = 21.441）
总和：
$$
\Delta S \approx 3.3775 + 2.7280 + 21.441 = 27.5465 \ \mathrm{m}^2
$$
取 $\Delta S \approx 27.5\ \mathrm{m}^2$。
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相对误差
$$
\frac{\Delta S}{S} \approx \frac{27.5}{2128} \approx 0.01292 \approx 1.29\%
$$
---
最终答案
面积近似值：$S \approx 2128\ \mathrm{m}^2$
绝对误差：$\Delta S \approx 27.5\ \mathrm{m}^2$
相对误差：约 $1.29\%$
难度：★★☆☆☆