同济高数 第9章 第9-3-*13题

[AI解答]

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题目：利用全微分证明：
1. 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和；
2. 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和。

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证明：

设函数 $ u = f(x, y) $，其全微分为
$$
du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy.
$$

1. 乘积的情形

设 $ z = x \cdot y $，其中 $ x > 0, y > 0 $。
则全微分为
$$
dz = y\,dx + x\,dy.
$$

相对误差定义为 $\displaystyle{\frac{dz}{z}}$，于是
$$
\frac{dz}{z} = \frac{y\,dx + x\,dy}{xy} = \frac{dx}{x} + \frac{dy}{y}.
$$

因此，乘积的相对误差等于各因子相对误差之和。

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2. 商的情形

设 $ w = \frac{x}{y} $，其中 $ y \neq 0 $，且 $ x > 0, y > 0 $。
则全微分为
$$
dw = \frac{1}{y}\,dx - \frac{x}{y^2}\,dy.
$$

相对误差为
$$
\frac{dw}{w} = \frac{\displaystyle{\frac{1}{y}dx - \frac{x}{y^2}dy}}{\displaystyle{\frac{x}{y}}}
= \frac{dx}{x} - \frac{dy}{y}.
$$

这里注意：相对误差通常考虑绝对值，因此实际误差传递公式中，商的相对误差等于被除数的相对误差加上除数的相对误差（取绝对值后相加），即
$$
\left|\frac{dw}{w}\right| = \left|\frac{dx}{x}\right| + \left|\frac{dy}{y}\right|.
$$

因此，商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和（在误差限的意义下）。

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难度评级：★☆☆☆☆