同济高数 第9章 第9-4-6题

[AI解答]

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已知：
$$
u = \frac{e^{a x}(y - z)}{a^2 + 1}, \quad y = a \sin x, \quad z = \cos x
$$
其中 $a$ 为常数。

首先代入 $y$ 和 $z$：
$$
y - z = a \sin x - \cos x
$$
因此
$$
u = \frac{e^{a x}(a \sin x - \cos x)}{a^2 + 1}
$$

现在对 $x$ 求导。由于 $a^2+1$ 是常数，只需对分子求导：
设
$$
v(x) = e^{a x}(a \sin x - \cos x)
$$
那么
$$
\frac{du}{dx} = \frac{1}{a^2+1} \cdot v'(x)
$$

用乘积法则求 $v'(x)$：
$$
v'(x) = (e^{a x})' (a \sin x - \cos x) + e^{a x} (a \sin x - \cos x)'
$$
其中
$$
(e^{a x})' = a e^{a x}
$$
$$
(a \sin x - \cos x)' = a \cos x + \sin x
$$
所以
$$
v'(x) = a e^{a x}(a \sin x - \cos x) + e^{a x}(a \cos x + \sin x)
$$
合并同类项：
$$
v'(x) = e^{a x} \big[ a^2 \sin x - a \cos x + a \cos x + \sin x \big]
$$
注意 $-a\cos x + a\cos x$ 抵消，剩下：
$$
v'(x) = e^{a x} (a^2 \sin x + \sin x) = e^{a x} \sin x (a^2 + 1)
$$

因此
$$
\frac{du}{dx} = \frac{1}{a^2+1} \cdot e^{a x} \sin x (a^2+1) = e^{a x} \sin x
$$

最终结果为：
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}= e^{a x} \sin x}
$$