同济高数 第9章 第9-6-10题
📝 题目
10．求椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上平行于平面 $x-y+2 z=0$ 的切平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知椭球面方程为
$$
x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1
$$
设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，则椭球面在该点的法向量为梯度
$$
\nabla F = (2x_0,\; 4y_0,\; 2z_0)
$$
即法向量可取为
$$
\mathbf{n} = (x_0,\; 2y_0,\; z_0)
$$
所求切平面平行于平面
$$
x - y + 2z = 0
$$
该平面的法向量为
$$
\mathbf{n}_0 = (1,\; -1,\; 2)
$$
两平面平行等价于它们的法向量共线，即存在常数 $\lambda$ 使得
$$
(x_0,\; 2y_0,\; z_0) = \lambda (1,\; -1,\; 2)
$$
于是
$$
x_0 = \lambda,\quad 2y_0 = -\lambda \Rightarrow y_0 = -\frac{\lambda}{2},\quad z_0 = 2\lambda
$$
代入椭球面方程：
$$
\lambda^{2} + 2\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^{2} + (2\lambda)^{2} = 1
$$
计算得
$$
\lambda^{2} + 2\cdot\frac{\lambda^{2}}{4} + 4\lambda^{2} = \lambda^{2} + \frac{\lambda^{2}}{2} + 4\lambda^{2} = \frac{11}{2}\lambda^{2} = 1
$$
所以
$$
\lambda^{2} = \frac{2}{11},\quad \lambda = \pm\sqrt{\frac{2}{11}}
$$
因此切点为
$$
\left(\sqrt{\frac{2}{11}},\; -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; 2\sqrt{\frac{2}{11}}\right),\quad
\left(-\sqrt{\frac{2}{11}},\; \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; -2\sqrt{\frac{2}{11}}\right)
$$
切平面方程为
$$
x_0(x - x_0) + 2y_0(y - y_0) + z_0(z - z_0) = 0
$$
利用法向量共线关系，可简化为
$$
1\cdot(x - x_0) - 1\cdot(y - y_0) + 2\cdot(z - z_0) = 0
$$
即
$$
x - y + 2z = x_0 - y_0 + 2z_0
$$
代入 $x_0 = \lambda,\; y_0 = -\frac{\lambda}{2},\; z_0 = 2\lambda$，得
$$
x_0 - y_0 + 2z_0 = \lambda - \left(-\frac{\lambda}{2}\right) + 4\lambda = \lambda + \frac{\lambda}{2} + 4\lambda = \frac{11}{2}\lambda
$$
当 $\lambda = \sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为
$$
\frac{11}{2}\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{11}{2}}
$$
当 $\lambda = -\sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为
$$
-\sqrt{\frac{11}{2}}
$$
因此两个切平面方程为
$$
x - y + 2z = \pm\sqrt{\frac{11}{2}}
$$
难度：★★☆☆☆