同济高数 第9章 第9-6-3题
📝 题目
3．求曲线 $\displaystyle r=f(t)=(t-\sin t) i+(1-\cos t) j+\left(4 \sin \frac{t}{2}\right) k$ 在与 $\displaystyle t_{0}=\frac{\pi}{2}$ 相应的点处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知曲线
$$
r(t) = (t - \sin t) \mathbf{i} + (1 - \cos t) \mathbf{j} + \left(4 \sin \frac{t}{2}\right) \mathbf{k}
$$
在 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $ 处求切线及法平面方程。
第一步：求切点坐标
代入 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $：
$$
x_0 = \frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1
$$
$$
y_0 = 1 - \cos\frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1
$$
$$
z_0 = 4 \sin\frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
$$
所以切点为
$$
P_0\left( \frac{\pi}{2} - 1,\ 1,\ 2\sqrt{2} \right)
$$
第二步：求切向量（导数）
$$
r'(t) = (1 - \cos t) \mathbf{i} + (\sin t) \mathbf{j} + \left(2 \cos \frac{t}{2}\right) \mathbf{k}
$$
代入 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $：
$$
r'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \left(1 - \cos\frac{\pi}{2}\right) \mathbf{i} + \left(\sin\frac{\pi}{2}\right) \mathbf{j} + \left(2 \cos\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{k}
$$
$$
= (1 - 0) \mathbf{i} + (1) \mathbf{j} + \left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \mathbf{k}
$$
$$
= \mathbf{i} + \mathbf{j} + \sqrt{2} \mathbf{k}
$$
即切向量为
$$
T = (1, 1, \sqrt{2})
$$
第三步：切线方程
切线方向向量即为 $ T $，过点 $ P_0 $，参数式：
$$
\begin{cases}
x = \displaystyle \frac{\pi}{2} - 1 + t \$$2mm]
y = 1 + t \$$2mm]
z = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} t
\end{cases}
$$
对称式：
$$
\frac{x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
第四步：法平面方程
法平面法向量即切向量 $ (1, 1, \sqrt{2}) $，法平面方程为
$$
1 \cdot \left( x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \right) + 1 \cdot (y - 1) + \sqrt{2} \cdot (z - 2\sqrt{2}) = 0
$$
化简：
$$
x - \frac{\pi}{2} + 1 + y - 1 + \sqrt{2}z - 4 = 0
$$
$$
x + y + \sqrt{2}z - \frac{\pi}{2} - 4 = 0
$$
最终答案
切线方程（对称式）：
$$
\displaystyle \frac{x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
法平面方程：
$$
\displaystyle x + y + \sqrt{2}z = \frac{\pi}{2} + 4
$$
难度：★★☆☆☆
（基本向量函数求导与空间几何应用，计算量较小，但需注意三角值代入和化简）