同济高数 第9章 第9-7-1题
📝 题目
1．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：确定方向向量与方向余弦
给定两点：起点 $P_0(1,2)$，终点 $P_1(2, 2+\sqrt{3})$。
方向向量为：
$$
\vec{l} = (2-1,\; 2+\sqrt{3}-2) = (1, \sqrt{3})
$$
其模长为：
$$
|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2
$$
因此方向余弦为：
$$
\cos\alpha = \frac{1}{2},\quad \cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
第二步：计算偏导数
函数 $z = x^2 + y^2$，求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y
$$
在点 $(1,2)$ 处：
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 2\cdot 1 = 2,\quad
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 2\cdot 2 = 4
$$
第三步：方向导数公式
方向导数：
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,2)} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta
$$
代入数值：
$$
= 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}
$$
最终答案：
$$
\boxed{1 + 2\sqrt{3}}
$$
难度：★☆☆☆☆