同济高数 第9章 第9-7-3题
📝 题目
3．求函数 $\displaystyle z=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数
$$
z = 1 - \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \right)
$$
在点
$$
P_0 = \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}} \right)
$$
处，沿着曲线
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
$$
在该点的内法线方向的方向导数。
---
第一步：求梯度
函数为
$$
z = f(x, y) = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2x}{a^{2}}, \quad
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y}{b^{2}}
$$
在点 $P_0$ 处：
$$
f_x(P_0) = -\frac{2}{a^{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{a\sqrt{2}}
$$
$$
f_y(P_0) = -\frac{2}{b^{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{b\sqrt{2}}
$$
所以梯度为：
$$
\nabla f(P_0) = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right)
$$
---
第二步：求内法线方向
曲线
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
$$
是椭圆，其梯度方向即为法线方向。令
$$
F(x, y) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1
$$
则
$$
\nabla F = \left( \frac{2x}{a^{2}}, \frac{2y}{b^{2}} \right)
$$
在 $P_0$ 处：
$$
\nabla F(P_0) = \left( \frac{2}{a^{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{2}{b^{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} \right)
= \left( \frac{2}{a\sqrt{2}}, \frac{2}{b\sqrt{2}} \right)
$$
这个方向指向椭圆外部（因为梯度指向函数增加最快的方向，而椭圆外部 $F>0$）。
因此内法线方向是它的反向，即
$$
\mathbf{n}_{\text{内}} = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right)
$$
单位化：
模长
$$
\left\| \nabla F(P_0) \right\| = \sqrt{ \left( \frac{2}{a\sqrt{2}} \right)^{2} + \left( \frac{2}{b\sqrt{2}} \right)^{2} }
= \sqrt{ \frac{2}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}} }
= \sqrt{2\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) }
$$
所以单位内法向量为：
$$
\mathbf{l} = \frac{ \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right) }
{ \sqrt{2\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) } }
= \frac{ - \left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) }
{ \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } }
$$
---
第三步：方向导数
方向导数公式：
$$
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{l}
$$
代入：
$$
\nabla f(P_0) = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right)
= -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \quad \text{？检查：}
$$
实际上
$$
-\frac{2}{a\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{a}
$$
所以
$$
\nabla f(P_0) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \right)
$$
而
$$
\mathbf{l} = \frac{ -\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) }{ \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } }
$$
点乘：
$$
\nabla f \cdot \mathbf{l}
= \frac{ \left( -\frac{\sqrt{2}}{a} \right)\left( -\frac{1}{a} \right)
+ \left( -\frac{\sqrt{2}}{b} \right)\left( -\frac{1}{b} \right) }
{ \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } }
$$
分子：
$$
\frac{\sqrt{2}}{a^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{b^{2}} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right)
$$
因此方向导数为：
$$
\frac{ \sqrt{2} \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) }
{ \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } }
= \sqrt{2} \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} }
$$
---
最终答案
$$
\boxed{\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}
$$
难度：★★☆☆☆