同济高数 第9章 第9-7-8题
📝 题目
8．设 $f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+x y+3 x-2 y-6 z$ ，求
$$
\operatorname{grad} f(0,0,0) \quad \text { 及 } \operatorname{grad} f(1,1,1) .
$$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，函数 $ f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + xy + 3x - 2y - 6z $ 的梯度定义为
$$
\operatorname{grad} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right).
$$
分别求三个偏导数：
对 $ x $ 求偏导（将 $ y, z $ 视为常数）：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y + 3.
$$
对 $ y $ 求偏导（将 $ x, z $ 视为常数）：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 4y + x - 2.
$$
对 $ z $ 求偏导（将 $ x, y $ 视为常数）：
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = 6z - 6.
$$
因此梯度向量为
$$
\operatorname{grad} f(x, y, z) = (2x + y + 3,\; 4y + x - 2,\; 6z - 6).
$$
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**计算在点 $(0,0,0)$ 处的梯度：**
代入 $ x=0, y=0, z=0 $：
$$
\operatorname{grad} f(0,0,0) = (2\cdot 0 + 0 + 3,\; 4\cdot 0 + 0 - 2,\; 6\cdot 0 - 6) = (3,\; -2,\; -6).
$$
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**计算在点 $(1,1,1)$ 处的梯度：**
代入 $ x=1, y=1, z=1 $：
$$
\operatorname{grad} f(1,1,1) = (2\cdot 1 + 1 + 3,\; 4\cdot 1 + 1 - 2,\; 6\cdot 1 - 6) = (2+1+3,\; 4+1-2,\; 6-6) = (6,\; 3,\; 0).
$$
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最终结果：
$$
\boxed{\operatorname{grad} f(0,0,0) = (3, -2, -6)},\quad \boxed{\operatorname{grad} f(1,1,1) = (6, 3, 0)}.
$$
难度：★☆☆☆☆