同济高数 第9章 第9-8-5题

[AI解答]

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我们要求函数 $ z = xy $ 在约束条件 $ x + y = 1 $ 下的极大值。
这是一个典型的条件极值问题，可用拉格朗日乘数法或直接代入法求解。

方法一：直接代入法
由约束条件 $ x + y = 1 $，得 $ y = 1 - x $。
代入目标函数：
$$
z = x(1 - x) = x - x^2
$$
这是一个关于 $ x $ 的二次函数，开口向下，在顶点处取极大值。
求导：
$$
\frac{dz}{dx} = 1 - 2x
$$
令导数为零：
$$
1 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}
$$
则 $ y = 1 - x = \frac{1}{2} $。
极大值为：
$$
z = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$

方法二：拉格朗日乘数法
构造拉格朗日函数：
$$
L(x, y, \lambda) = xy + \lambda (x + y - 1)
$$
求偏导数并令为零：
$$
\frac{\partial L}{\partial x} = y + \lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\lambda
$$
$$
\frac{\partial L}{\partial y} = x + \lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\lambda
$$
$$
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0
$$
由前两式得 $ x = y $，代入第三式：
$$
x + x - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2},\ y = \frac{1}{2}
$$
代入目标函数得极大值：
$$
z = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$

因此，函数 $ z = xy $ 在条件 $ x + y = 1 $ 下的极大值为 $\displaystyle{\frac{1}{4}}$。

难度：★☆☆☆☆