同济高数 第9章 第9-9-2题
📝 题目
2．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x} \ln (1+y)$ 在点 $(0,0)$ 的三阶泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数
$$
f(x,y)=e^x\ln(1+y)
$$
在点 $(0,0)$ 的三阶泰勒公式。
泰勒公式的一般形式为（二元函数在原点展开）：
$$
f(x,y)=f(0,0)+\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k!}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^{(k)}f(0,0)+R_3
$$
其中 $R_3$ 为余项。
---
**第一步：计算各阶偏导数在 $(0,0)$ 的值**
1. 零阶：
$$
f(0,0)=e^0\ln(1+0)=0
$$
2. 一阶偏导：
$$
f_x = e^x\ln(1+y),\quad f_x(0,0)=0
$$
$$
f_y = \frac{e^x}{1+y},\quad f_y(0,0)=1
$$
所以一阶项：
$$
0\cdot x + 1\cdot y = y
$$
3. 二阶偏导：
$$
f_{xx}=e^x\ln(1+y),\quad f_{xx}(0,0)=0
$$
$$
f_{xy}= \frac{e^x}{1+y},\quad f_{xy}(0,0)=1
$$
$$
f_{yy}= -\frac{e^x}{(1+y)^2},\quad f_{yy}(0,0)=-1
$$
二阶项公式：
$$
\frac{1}{2!}\big(f_{xx}x^2+2f_{xy}xy+f_{yy}y^2\big)
$$
代入：
$$
\frac12(0\cdot x^2+2\cdot1\cdot xy + (-1)y^2)=xy-\frac12 y^2
$$
4. 三阶偏导：
$$
f_{xxx}=e^x\ln(1+y),\quad f_{xxx}(0,0)=0
$$
$$
f_{xxy}= \frac{e^x}{1+y},\quad f_{xxy}(0,0)=1
$$
$$
f_{xyy}= -\frac{e^x}{(1+y)^2},\quad f_{xyy}(0,0)=-1
$$
$$
f_{yyy}= \frac{2e^x}{(1+y)^3},\quad f_{yyy}(0,0)=2
$$
三阶项公式：
$$
\frac{1}{3!}\big(f_{xxx}x^3+3f_{xxy}x^2y+3f_{xyy}xy^2+f_{yyy}y^3\big)
$$
代入：
$$
\frac16\big(0\cdot x^3+3\cdot1\cdot x^2y+3\cdot(-1)\cdot xy^2+2\cdot y^3\big)
$$
$$
=\frac16(3x^2y-3xy^2+2y^3)=\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3
$$
---
第二步：写出三阶泰勒公式
将零阶、一阶、二阶、三阶相加：
$$
f(x,y)=0 + y + \left(xy-\frac12 y^2\right) + \left(\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3\right) + R_3
$$
整理得：
$$
\boxed{f(x,y)=y+xy-\frac12 y^2+\frac12 x^2y-\frac12 xy^2+\frac13 y^3+R_3}
$$
其中 $R_3$ 为余项（拉格朗日型或皮亚诺型均可）。
---
难度评级：★★☆☆☆
理由：计算量略大但思路固定，只需逐阶求导并代入公式，无技巧性难点。