同济高数 第1章 第1-10-*8题
📝 题目
＊8．证明：若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 必在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界．
💡 答案解析
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题目：
证明：若 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$ 存在，则 $ f(x) $ 必在 $ (-\infty, +\infty) $ 内有界。
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证明步骤：
1. 设
$$
\lim_{x \to \infty} f(x) = A
$$
根据极限的定义，对于 $\varepsilon = 1$，存在 $ X > 0 $，使得当 $ |x| > X $ 时，有
$$
|f(x) - A| < 1
$$
由此可得
$$
|f(x)| < |A| + 1, \quad \forall |x| > X.
$$
2. 考虑闭区间 $[-X, X]$。由于 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，因此在闭区间 $[-X, X]$ 上也连续。
由闭区间上连续函数的有界性定理，存在常数 $ M_1 > 0 $，使得
$$
|f(x)| \leq M_1, \quad \forall x \in [-X, X].
$$
3. 取
$$
M = \max\{ |A| + 1, M_1 \}
$$
则对于任意实数 $ x $：
- 若 $ |x| \leq X $，有 $ |f(x)| \leq M_1 \leq M $；
- 若 $ |x| > X $，有 $ |f(x)| < |A| + 1 \leq M $。
因此，对一切 $ x \in (-\infty, +\infty) $，都有
$$
|f(x)| \leq M.
$$
4. 所以 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有界。
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结论：
命题得证。