同济高数 第1章 第1-4-*2题

[AI解答]

[AI解答]

(1) 证明 $\displaystyle y=\frac{x^{2}-9}{x+3}$ 为当 $x \rightarrow 3$ 时的无穷小。

根据无穷小的定义：若 $\displaystyle\lim_{x \to 3} y = 0$，则 $y$ 是 $x \to 3$ 时的无穷小。

首先化简函数：
$$
y = \frac{x^{2}-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}
$$
当 $x \neq -3$ 时，有
$$
y = x - 3
$$
于是
$$
\lim_{x \to 3} y = \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0
$$
由定义可知，$y$ 是 $x \to 3$ 时的无穷小。

(2) 证明 $\displaystyle y = x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小。

根据无穷小的定义，需证明 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。

由于对任意 $x \neq 0$，有
$$
\left| \sin \frac{1}{x} \right| \le 1
$$
因此
$$
0 \le \left| x \sin \frac{1}{x} \right| \le |x|
$$
当 $x \to 0$ 时，$|x| \to 0$，由夹逼定理得
$$
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0
$$
所以 $\displaystyle y = x \sin \frac{1}{x}$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小。

难度：★☆☆☆☆