同济高数 第1章 第1-4-*7题

[AI解答]

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步骤1：证明函数在(0,1]内无界
考虑函数
$$
y = \frac{1}{x} \sin\frac{1}{x}, \quad x\in(0,1].
$$
取点列
$$
x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad n=1,2,3,\dots
$$
显然 $x_n \in (0,1]$，且
$$
\sin\frac{1}{x_n} = \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1.
$$
于是
$$
y(x_n) = \frac{1}{x_n} \cdot 1 = 2n\pi + \frac{\pi}{2}.
$$
当 $n\to\infty$ 时，$y(x_n) \to +\infty$，因此函数在 $(0,1]$ 上无界。

**步骤2：证明它不是 $x\to 0^+$ 时的无穷大**
要说明它不是无穷大，只需找到另一个趋于0的点列，使函数值不趋于无穷大。
取
$$
x_k = \frac{1}{k\pi}, \quad k=1,2,3,\dots
$$
则
$$
\sin\frac{1}{x_k} = \sin(k\pi) = 0,
$$
所以
$$
y(x_k) = \frac{1}{x_k} \cdot 0 = 0.
$$
当 $k\to\infty$ 时，$x_k\to 0^+$，但函数值恒为0，不趋于无穷大。
因此，虽然函数无界，但并非 $x\to 0^+$ 时的无穷大（无穷大要求所有趋近方式下函数值绝对值都趋于无穷）。

结论：函数在(0,1]内无界，但不是$x\to 0^+$时的无穷大。

难度：★★☆☆☆