同济高数 第1章 第1-6-2题
📝 题目
2．计算下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
（4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$（ $k$ 为正整数）．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下是各极限的详细计算过程：
---
（1）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}
$$
利用重要极限公式 $\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e$。令 $t = -x$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，
原式变为
$$
\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{-\frac{1}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{-1} = e^{-1}.
$$
因此
$$
\boxed{e^{-1}}
$$
---
（2）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}
$$
令 $t = 2x$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，且 $\frac{1}{x} = \frac{2}{t}$，
原式 =
$$
\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{2} = e^{2}.
$$
因此
$$
\boxed{e^{2}}
$$
---
（3）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x}
$$
先化简括号内：
$$
\frac{1+x}{x} = 1 + \frac{1}{x}
$$
于是原式 =
$$
\displaystyle{\lim}_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}
$$
令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，则
$$
\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{2}{t}} = e^{2}.
$$
因此
$$
\boxed{e^{2}}
$$
---
（4）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}
$$
令 $t = -\frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，且 $x = -\frac{1}{t}$，于是
$$
k x = -\frac{k}{t}
$$
原式 =
$$
\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{-\frac{k}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{-k} = e^{-k}.
$$
因此
$$
\boxed{e^{-k}}
$$
---
难度评级：★☆☆☆☆
（均为直接应用重要极限 $ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e$ 的简单变形）