同济高数 第1章 第1-7-3题
📝 题目
3．当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和（1） $1-x^{3}$ ，（2）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)$ 是否同阶，是否等价？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们分析当 $x \to 1$ 时，无穷小 $1-x$ 与另外两个无穷小是否同阶、是否等价。
首先明确：
- 两个无穷小 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 当 $x \to a$ 时，若
$$
\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0
$$
则称它们同阶；若 $c=1$，则称等价。
---
(1) 比较 $1-x$ 与 $1-x^3$。
因为
$$
1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)
$$
于是
$$
\lim_{x \to 1} \frac{1-x}{1-x^3}
= \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{(1-x)(1+x+x^2)}
= \lim_{x \to 1} \frac{1}{1+x+x^2}
= \frac{1}{3} \neq 0
$$
所以它们是同阶无穷小，但不等价（因为极限为 $\frac{1}{3} \neq 1$）。
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(2) 比较 $1-x$ 与 $\frac12(1-x^2)$。
因为
$$
1-x^2 = (1-x)(1+x)
$$
所以
$$
\frac{1-x}{\frac12(1-x^2)}
= \frac{1-x}{\frac12(1-x)(1+x)}
= \frac{2}{1+x}
$$
取极限
$$
\lim_{x \to 1} \frac{1-x}{\frac12(1-x^2)}
= \lim_{x \to 1} \frac{2}{1+x}
= 1
$$
因此它们是等价无穷小，当然也是同阶的。
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结论：
- 对(1)：同阶，不等价。
- 对(2)：同阶且等价。
难度：★☆☆☆☆