同济高数 第1章 第1-8-2题

[AI解答]

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习题1-8 第2题

（1）
函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
2-x, & 1< x \leqslant 2 .
\end{cases}
$$

连续性分析：
- 在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=x^{2}$ 为多项式函数，连续。
- 在区间 $(1,2]$ 上，$f(x)=2-x$ 为一次函数，连续。
- 在分段点 $x=1$ 处：
左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = 1$。
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2-x) = 1$。
函数值：$f(1)=1^{2}=1$。
左极限 = 右极限 = 函数值，故在 $x=1$ 处连续。

因此 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。

图形描述：
- 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 的一段。
- 从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$ 是直线 $y=2-x$ 的一段。
两段在 $(1,1)$ 处光滑连接。

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（2）
函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\
1, & x < -1 \ \text{或} \ x > 1 .
\end{cases}
$$

连续性分析：
- 在区间 $(-1,1)$ 上，$f(x)=x$ 连续。
- 在区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上，$f(x)=1$ 为常数函数，连续。
- 在分段点 $x=-1$ 处：
左极限：$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \lim_{x \to -1^{-}} 1 = 1$。
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = \lim_{x \to -1^{+}} x = -1$。
函数值：$f(-1) = -1$。
左极限 ≠ 右极限，因此 $x=-1$ 为跳跃间断点。
- 在分段点 $x=1$ 处：
左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x = 1$。
右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} 1 = 1$。
函数值：$f(1)=1$。
左极限 = 右极限 = 函数值，故在 $x=1$ 处连续。

因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $[-1,+\infty)$ 上连续，仅在 $x=-1$ 处不连续（跳跃间断点）。

图形描述：
- 当 $x<-1$ 时，图形为水平线 $y=1$（不包括 $x=-1$ 点）。
- 当 $-1 \le x \le 1$ 时，图形为直线 $y=x$ 从 $(-1,-1)$ 到 $(1,1)$。
- 当 $x>1$ 时，图形为水平线 $y=1$。
在 $x=-1$ 处，左极限为 $1$，右极限为 $-1$，函数值为 $-1$，出现跳跃。

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难度评级： ★☆☆☆☆
（基础分段函数连续性判断，只需计算分段点两侧极限并与函数值比较，图形简单。）