同济高数 第2章 第2-1-11题

[AI解答]

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证明（1）
设 $ f(x) $ 为可导的奇函数，即对任意 $ x $ 有
$$
f(-x) = -f(x)
$$
两边对 $ x $ 求导，左边由链式法则得
$$
\frac{d}{dx} f(-x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)
$$
右边导数为
$$
\frac{d}{dx}[-f(x)] = -f'(x)
$$
因此
$$
-f'(-x) = -f'(x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = f'(x)
$$
故 $ f'(x) $ 为偶函数。

证明（2）
设 $ f(x) $ 为可导的偶函数，即
$$
f(-x) = f(x)
$$
两边求导：
左边
$$
\frac{d}{dx} f(-x) = -f'(-x)
$$
右边
$$
\frac{d}{dx} f(x) = f'(x)
$$
因此
$$
-f'(-x) = f'(x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = -f'(x)
$$
故 $ f'(x) $ 为奇函数。

证明（3）
设 $ f(x) $ 为偶函数，且 $ f'(0) $ 存在。由偶函数定义：
$$
f(-h) = f(h)
$$
考虑导数定义：
$$
f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}
$$
同时，利用偶函数性质，有
$$
f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(-h) - f(0)}{-h}
= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{-h}
= -\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}
= -f'(0)
$$
因此
$$
f'(0) = -f'(0) \quad \Rightarrow \quad 2f'(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 0
$$
证毕。

难度：★★☆☆☆