同济高数 第2章 第2-1-19题
📝 题目
19．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & x\lt 0, \\ x, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知分段函数
$$
f(x)=\begin{cases}
\sin x, & x<0,\\
x, & x\ge 0,
\end{cases}
$$
要求导函数 $f'(x)$，需分段求导并考虑分段点 $x=0$ 处的可导性。
第一步：分段求导
- 当 $x<0$ 时，$f(x)=\sin x$，则
$$
f'(x)=\cos x.
$$
- 当 $x>0$ 时，$f(x)=x$，则
$$
f'(x)=1.
$$
**第二步：讨论 $x=0$ 处的可导性**
先判断在 $x=0$ 处是否连续：
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\sin 0=0$，
右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$，
且 $f(0)=0$，因此连续。
再求左右导数：
左导数：
$$
f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
= \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x-0}{x}=1.
$$
右导数：
$$
f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
= \lim_{x\to 0^+}\frac{x-0}{x}=1.
$$
左右导数相等，故 $f'(0)=1$。
第三步：合并结果
因此
$$
f'(x)=\begin{cases}
\cos x, & x<0,\\
1, & x\ge 0.
\end{cases}
$$
难度：★☆☆☆☆