同济高数 第2章 第2-1-4题
📝 题目
4．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots \cdots(x+n)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知函数
$$
f(x)=\frac{(x-1)(x-2)\cdots(x-n)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}.
$$
要求 $f'(1)$。
首先，将 $f(x)$ 写成乘积形式，便于取对数求导。
令
$$
f(x)=\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(x-k)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(x+k)}.
$$
取自然对数：
$$
\ln f(x)=\sum_{k=1}^{n}\ln(x-k)-\sum_{k=1}^{n}\ln(x+k).
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}.
$$
于是
$$
f'(x)=f(x)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}\right).
$$
现在代入 $x=1$。注意当 $x=1$ 时，分子中 $(x-1)$ 因子为零，因此 $f(1)=0$。但直接代入上式会出现 $\frac{1}{x-k}$ 项中 $k=1$ 时产生 $\frac{1}{0}$ 的不定式，需要单独处理。
更稳妥的方法是直接利用导数定义，或先化简再求极限。
考虑 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数定义：
$$
f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1},
$$
因为 $f(1)=0$。
而
$$
\frac{f(x)}{x-1}=\frac{(x-2)(x-3)\cdots(x-n)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}.
$$
因此
$$
f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{(x-2)(x-3)\cdots(x-n)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}.
$$
代入 $x=1$：
$$
f'(1)=\frac{(1-2)(1-3)\cdots(1-n)}{(1+1)(1+2)\cdots(1+n)}.
$$
分子是
$$
(-1)(-2)\cdots(1-n)=(-1)^{n-1}\cdot 1\cdot2\cdots(n-1)=(-1)^{n-1}(n-1)!.
$$
分母是
$$
2\cdot3\cdots(n+1)=\frac{(n+1)!}{1!}=(n+1)! / 1 = (n+1)!?
$$
注意：$2\cdot3\cdots(n+1)=\frac{(n+1)!}{1}=(n+1)!$，但更准确是
$$
2\cdot3\cdots(n+1)=\frac{(n+1)!}{1!}=(n+1)!.
$$
因此
$$
f'(1)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(n+1)!}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=(-1)^{n-1}\frac{1}{n(n+1)}.
$$
因为 $(n+1)!=(n+1)n(n-1)!$，所以约分后得到
$$
f'(1)=\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}.
$$
最终结果：
$$
\boxed{f'(1)=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}}
$$
难度：★★☆☆☆