同济高数 第2章 第2-2-1题

[AI解答]

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我们根据导数的定义和已知的三角函数导数公式来推导。

第一步：推导余切函数的导数
已知
$$
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
$$
利用商的导数公式
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
令 $ u = \cos x, v = \sin x $，则
$$
u' = -\sin x,\quad v' = \cos x
$$
代入公式：
$$
(\cot x)' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x}
= \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}
$$
分子提取负号并利用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$：
$$
(\cot x)' = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}
$$
而 $\displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}$，所以 $\displaystyle \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$，因此
$$
(\cot x)' = -\csc^2 x
$$
公式得证。

第二步：推导余割函数的导数
已知
$$
\csc x = \frac{1}{\sin x}
$$
可视为 $(\sin x)^{-1}$，用链式法则：
$$
(\csc x)' = \frac{d}{dx} (\sin x)^{-1} = -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x
$$
即
$$
(\csc x)' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}
$$
将其拆分为：
$$
(\csc x)' = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x
$$
公式得证。

因此，我们得到：
$$
\boxed{(\cot x)' = -\csc^2 x,\quad (\csc x)' = -\csc x \cot x}
$$

难度：★☆☆☆☆