同济高数 第2章 第2-2-*12题

[AI解答]

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以下为各小题的详细求导步骤，使用双曲函数与反双曲函数的求导公式。

（1） $y=\operatorname{ch}(\operatorname{sh} x)$
令 $u=\operatorname{sh} x$，则 $y=\operatorname{ch} u$。
由链式法则：
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \operatorname{sh} u \cdot \operatorname{ch} x = \operatorname{sh}(\operatorname{sh} x) \cdot \operatorname{ch} x}
$$

（2） $y=\operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x}$
使用乘积法则：
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = (\operatorname{ch} x) \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} + \operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} \cdot \operatorname{sh} x = \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} \left( \operatorname{ch} x + \operatorname{sh}^2 x \right)}
$$

（3） $y=\operatorname{th}(\ln x)$
令 $u=\ln x$，则 $y=\operatorname{th} u$，
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2 u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \operatorname{ch}^2(\ln x)}}
$$

（4） $y=\operatorname{sh}^{3} x+\operatorname{ch}^{2} x$
逐项求导：
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = 3\operatorname{sh}^2 x \cdot \operatorname{ch} x + 2\operatorname{ch} x \cdot \operatorname{sh} x = \operatorname{ch} x \left( 3\operatorname{sh}^2 x + 2\operatorname{sh} x \right)}
$$

（5） $y=\operatorname{th}\left(1-x^{2}\right)$
令 $u=1-x^2$，则
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2(1-x^2)} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{\operatorname{ch}^2(1-x^2)}}
$$

（6） $y=\operatorname{arsh}\left(x^{2}+1\right)$
反双曲正弦导数：$\displaystyle{\frac{d}{du}\operatorname{arsh} u = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}$，
令 $u=x^2+1$，则
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^4+2x^2+2}}}
$$

（7） $y=\operatorname{arch}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$
反双曲余弦定义域要求 $u=\mathrm{e}^{2x} \ge 1$，导数公式：$\displaystyle{\frac{d}{du}\operatorname{arch} u = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}}$，
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{4x}-1}} \cdot 2\mathrm{e}^{2x} = \frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{4x}-1}}}
$$

（8） $y=\arctan (\operatorname{th} x)$
令 $u=\operatorname{th} x$，则
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{1}{1+\operatorname{th}^2 x} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}
$$
利用恒等式 $\displaystyle 1+\operatorname{th}^2 x = \frac{\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{\operatorname{ch} 2x}{\operatorname{ch}^2 x}$，因此
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch} 2x}}
$$

（9） $\displaystyle y=\ln \operatorname{ch} x+\frac{1}{2 \operatorname{ch}^{2} x}$
逐项求导：
第一项：$\displaystyle{\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{ch} x) = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \operatorname{th} x}$
第二项：令 $u=\operatorname{ch} x$，则 $\displaystyle{\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2} u^{-2} \right) = \frac{1}{2} \cdot (-2) u^{-3} \cdot \operatorname{sh} x = -\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}^3 x}}$
所以
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \operatorname{th} x - \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}^3 x}}
$$

（10） $\displaystyle y=\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$
令 $\displaystyle u=\frac{x-1}{x+1}$，则 $y=\operatorname{ch}^2 u$，
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = 2\operatorname{ch} u \cdot \operatorname{sh} u \cdot \frac{du}{dx} = \operatorname{sh}(2u) \cdot \frac{du}{dx}}
$$
而
$$
\displaystyle{\frac{du}{dx} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}}
$$
因此
$$
\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2} \operatorname{sh}\left( \frac{2(x-1)}{x+1} \right)}
$$

难度：★★☆☆☆