同济高数 第2章 第2-3-6题

教材习题

📝 题目

6．密度大的陨星进人大气层时，它离地心为 $s \mathrm{~km}$ 时的速度与 $\sqrt{s}$ 成反比．试证陨星的加速度与 $s^{2}$成反比．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

已知条件：
陨星离地心的距离为 $ s $（单位：km），其速度 $ v $ 与 $ \sqrt{s} $ 成反比，即存在常数 $ k > 0 $，使得
$$
v = \frac{k}{\sqrt{s}}.
$$

目标：证明加速度 $ a $ 与 $ s^2 $ 成反比。

证明过程：

1. 速度 $ v $ 是位置 $ s $ 对时间 $ t $ 的变化率，即
$$
v = \frac{ds}{dt}.
$$
由已知条件得
$$
\frac{ds}{dt} = \frac{k}{\sqrt{s}}.
$$

2. 加速度 $ a $ 是速度对时间的变化率，即
$$
a = \frac{dv}{dt}.
$$
利用链式法则，可将加速度表示为
$$
a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt}.
$$

3. 先计算 $ \displaystyle{\frac{dv}{ds}} $：
由 $ v = k s^{-1/2} $，得
$$
\frac{dv}{ds} = k \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) s^{-3/2} = -\frac{k}{2} s^{-3/2}.
$$

4. 代入 $ \displaystyle{\frac{ds}{dt} = \frac{k}{\sqrt{s}} = k s^{-1/2}} $，得
$$
a = \left( -\frac{k}{2} s^{-3/2} \right) \cdot \left( k s^{-1/2} \right) = -\frac{k^2}{2} s^{-2}.
$$

5. 因此
$$
a = -\frac{k^2}{2} \cdot \frac{1}{s^2},
$$
即加速度的大小与 $ s^2 $ 成反比，负号表示加速度方向指向地心（减速运动）。

结论：陨星的加速度与 $ s^2 $ 成反比，证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：根据已知条件写出速度与距离的关系式
由题意，陨星离地心的距离为 s 时，速度 v 与 √s 成反比，故存在常数 k>0，使得 v = k/√s。
公式：v = k/√s
提示：注意反比关系的数学表达，设比例系数为 k。
步骤 2/6
目标：将速度表示为距离对时间的导数
速度 v 是距离 s 对时间 t 的导数，即 v = ds/dt。结合上一步，得到 ds/dt = k/√s。
公式：ds/dt = k/√s
提示：明确导数的物理意义。
步骤 3/6
目标：利用链式法则求加速度
加速度 a 是速度对时间的导数，即 a = dv/dt。由链式法则，a = (dv/ds) * (ds/dt)。
公式：a = dv/dt = (dv/ds)*(ds/dt)
提示：链式法则是处理复合函数求导的关键。
步骤 4/6
目标：计算 dv/ds
由 v = k s^{-1/2}，求导得 dv/ds = k * (-1/2) s^{-3/2} = -k/(2 s^{3/2})。
公式：dv/ds = -k/(2 s^{3/2})
提示：幂函数求导公式：d/ds (s^n) = n s^{n-1}。
步骤 5/6
目标：代入 ds/dt 并计算加速度
将 dv/ds 和 ds/dt = k/√s = k s^{-1/2} 代入 a = (dv/ds)*(ds/dt)，得 a = (-k/(2 s^{3/2})) * (k s^{-1/2}) = -k^2/(2 s^2)。
公式：a = -k^2/(2 s^2)
提示：注意指数运算：s^{-3/2} * s^{-1/2} = s^{-2}。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 a = -k^2/(2 s^2) 可知，加速度的大小与 s^2 成反比，负号表示加速度方向指向地心（减速运动）。
提示：反比关系指 a ∝ 1/s^2。

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