同济高数 第2章 第2-4-13题
📝 题目
13．溶液自深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形漏斗中漏人一直径为 10 cm 的圆柱形筒中．开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12 cm 时，其表面下降的速率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们首先分析漏斗和圆柱筒的几何关系，并利用体积守恒来求解。
第一步：建立漏斗的几何参数
漏斗是正圆锥形，深（高）$H=18\,\text{cm}$，顶直径 $D=12\,\text{cm}$，所以顶半径 $R=6\,\text{cm}$。
由相似三角形可知，在任意时刻，漏斗内液面高度为 $h$ 时，液面半径 $r$ 满足：
$$
\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
$$
因此
$$
r = \frac{h}{3}.
$$
漏斗内液体体积为：
$$
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^2}{9} \cdot h = \frac{\pi}{27} h^3.
$$
第二步：圆柱筒的几何参数
圆柱筒直径 $10\,\text{cm}$，半径 $5\,\text{cm}$。设筒内液面高度为 $y$，则筒内液体体积为：
$$
V_{\text{cyl}} = \pi (5)^2 y = 25\pi y.
$$
第三步：体积守恒关系
漏斗中流出的液体全部进入圆柱筒，因此漏斗中减少的体积等于圆柱筒中增加的体积。设漏斗液面高度为 $h$，圆柱筒液面高度为 $y$，初始时漏斗满（$h=18$），筒空（$y=0$）。于是有：
$$
V_{\text{cone初始}} - V_{\text{cone}}(h) = V_{\text{cyl}}(y)
$$
即
$$
\frac{\pi}{27}(18^3) - \frac{\pi}{27}h^3 = 25\pi y.
$$
计算 $18^3 = 5832$，所以：
$$
\frac{\pi}{27} \cdot 5832 - \frac{\pi}{27}h^3 = 25\pi y.
$$
两边同时除以 $\pi$：
$$
\frac{5832}{27} - \frac{h^3}{27} = 25y.
$$
而 $\frac{5832}{27} = 216$，因此：
$$
216 - \frac{h^3}{27} = 25y.
$$
第四步：对时间求导
两边对时间 $t$ 求导（注意 $h$ 和 $y$ 都是 $t$ 的函数）：
$$
0 - \frac{3h^2}{27} \cdot \frac{dh}{dt} = 25 \frac{dy}{dt}.
$$
化简：
$$
-\frac{h^2}{9} \cdot \frac{dh}{dt} = 25 \frac{dy}{dt}.
$$
第五步：代入已知条件
已知当 $h=12\,\text{cm}$ 时，表面下降速率 $\displaystyle \frac{dh}{dt} = -1\,\text{cm/min}$（下降所以为负）。代入：
$$
-\frac{12^2}{9} \cdot (-1) = 25 \frac{dy}{dt}.
$$
左边计算：
$$
-\frac{144}{9} \cdot (-1) = -16 \cdot (-1) = 16.
$$
因此：
$$
16 = 25 \frac{dy}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{16}{25} = 0.64\,\text{cm/min}.
$$
最终答案：
$$
\boxed{0.64\ \mathrm{cm/min}}
$$
难度评级：★★☆☆☆