同济高数 第2章 第2-4-9题
📝 题目
9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ：
（1）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{2}}{2}, \\ y=1-t ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t, \\ y=b \sin t ;\end{array}\right.$
（3）$\left\{\begin{array}{l}x=3 \mathrm{e}^{-t}, \\ y=2 \mathrm{e}^{t} ;\end{array}\right.$
（4）$\left\{\begin{array}{l}x=f^{\prime}(t), \\ y=t f^{\prime}(t)-f(t),\end{array}\right.$ 设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为零．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们依次求解四个参数方程的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。
（1）
参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{t^{2}}{2}, \\
y=1-t .
\end{array}\right.
$$
先求一阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}} = \frac{-1}{t} = -\frac{1}{t}.
$$
再求二阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{1}{t} \right)}{t} = \frac{\frac{1}{t^{2}}}{t} = \frac{1}{t^{3}}.
$$
因此：
$$
\boxed{\frac{1}{t^{3}}}
$$
---
（2）
参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x = a \cos t, \\
y = b \sin t .
\end{array}\right.
$$
一阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{b \cos t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t.
$$
二阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{b}{a} \cot t \right)}{-a \sin t} = \frac{-\frac{b}{a}(-\csc^{2} t)}{-a \sin t} = \frac{\frac{b}{a} \csc^{2} t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a^{2}} \csc^{3} t.
$$
因此：
$$
\boxed{-\frac{b}{a^{2}} \csc^{3} t}
$$
---
（3）
参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x = 3 \mathrm{e}^{-t}, \\
y = 2 \mathrm{e}^{t}.
\end{array}\right.
$$
一阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{2 \mathrm{e}^{t}}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = -\frac{2}{3} \mathrm{e}^{2t}.
$$
二阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{2}{3} \mathrm{e}^{2t} \right)}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = \frac{-\frac{4}{3} \mathrm{e}^{2t}}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = \frac{4}{9} \mathrm{e}^{3t}.
$$
因此：
$$
\boxed{\frac{4}{9} \mathrm{e}^{3t}}
$$
---
（4）
参数方程为：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x = f'(t), \\
y = t f'(t) - f(t),
\end{array}\right.
$$
且 $f''(t) \neq 0$。
一阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{f'(t) + t f''(t) - f'(t)}{f''(t)} = \frac{t f''(t)}{f''(t)} = t.
$$
二阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(t)}{f''(t)} = \frac{1}{f''(t)}.
$$
因此：
$$
\boxed{\frac{1}{f''(t)}}
$$
---
难度评级：★★☆☆☆
整体计算步骤规范，仅需掌握参数方程求导公式，第（4）题稍需链式法则理解，但无复杂技巧。