同济高数 第2章 第2-5-1题

[AI解答]

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已知函数 $ y = x^3 - x $，在 $ x = 2 $ 处计算增量 $\Delta y$ 与微分 $\mathrm{d}y$。

首先，函数在任意点 $x$ 的微分为：
$$
\mathrm{d}y = y'(x) \, \Delta x
$$
其中
$$
y'(x) = 3x^2 - 1
$$
所以在 $x = 2$ 处：
$$
y'(2) = 3 \cdot 2^2 - 1 = 12 - 1 = 11
$$
因此
$$
\mathrm{d}y = 11 \, \Delta x
$$

增量 $\Delta y$ 定义为：
$$
\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)
$$
在 $x = 2$ 处：
$$
f(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6
$$
所以
$$
\Delta y = (2 + \Delta x)^3 - (2 + \Delta x) - 6
$$

分别计算：

1. 当 $\Delta x = 1$ 时：
$$
\Delta y = (3)^3 - 3 - 6 = 27 - 3 - 6 = 18
$$
$$
\mathrm{d}y = 11 \times 1 = 11
$$

2. 当 $\Delta x = 0.1$ 时：
$$
\Delta y = (2.1)^3 - 2.1 - 6
$$
计算 $(2.1)^3 = 9.261$，所以
$$
\Delta y = 9.261 - 2.1 - 6 = 1.161
$$
$$
\mathrm{d}y = 11 \times 0.1 = 1.1
$$

3. 当 $\Delta x = 0.01$ 时：
$$
\Delta y = (2.01)^3 - 2.01 - 6
$$
计算 $(2.01)^3 = 8.120601$，所以
$$
\Delta y = 8.120601 - 2.01 - 6 = 0.110601
$$
$$
\mathrm{d}y = 11 \times 0.01 = 0.11
$$

综上，结果如下表：

| $\Delta x$ | $\Delta y$ | $\mathrm{d}y$ |
|-------------|-------------|----------------|
| 1 | 18 | 11 |
| 0.1 | 1.161 | 1.1 |
| 0.01 | 0.110601 | 0.11 |

难度：★☆☆☆☆