同济高数 第2章 第2-5-*12题
📝 题目
＊12．某厂生产如图 2－15 所示的扇形板，半径 $R=200 \mathrm{~mm}$ ，要求圆心角 $\alpha$ 为 $55^{\circ}$ ．产品检验时，一般用测量弦长 $l$ 的办法来间接测量圆心角 $\alpha$ ．如果测量弦长 $l$ 时的误差 $\delta_{l}=0.1 \mathrm{~mm}$ ，问由此而引起的圆心角测量误差
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$\delta_{\alpha}$ 是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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由题意，扇形板半径 $R=200\ \mathrm{mm}$，圆心角 $\alpha=55^\circ$，测量弦长 $l$ 的误差 $\delta_l=0.1\ \mathrm{mm}$，需要求由此引起的圆心角测量误差 $\delta_\alpha$。
首先建立弦长 $l$ 与圆心角 $\alpha$ 的关系。对于半径为 $R$、圆心角为 $\alpha$（弧度）的扇形，其弦长公式为：
$$
l = 2R\sin\frac{\alpha}{2}.
$$
将 $\alpha$ 转换为弧度：
$$
\alpha = 55^\circ = 55 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{36}\ \text{rad}.
$$
利用微分近似关系，当测量有微小误差时，有：
$$
\delta_l \approx \left| \frac{dl}{d\alpha} \right| \delta_\alpha.
$$
计算导数：
$$
\frac{dl}{d\alpha} = 2R \cdot \frac{1}{2} \cos\frac{\alpha}{2} = R \cos\frac{\alpha}{2}.
$$
因此：
$$
\delta_\alpha \approx \frac{\delta_l}{\left| \frac{dl}{d\alpha} \right|} = \frac{\delta_l}{R \cos\frac{\alpha}{2}}.
$$
代入数值：
$$
\frac{\alpha}{2} = \frac{55^\circ}{2} = 27.5^\circ,
$$
$$
\cos 27.5^\circ \approx 0.8870,
$$
$$
R = 200\ \mathrm{mm},\quad \delta_l = 0.1\ \mathrm{mm}.
$$
于是：
$$
\delta_\alpha \approx \frac{0.1}{200 \times 0.8870} = \frac{0.1}{177.4} \approx 0.0005637\ \text{rad}.
$$
将弧度转换为度：
$$
\delta_\alpha \approx 0.0005637 \times \frac{180}{\pi} \approx 0.0005637 \times 57.2958 \approx 0.0323^\circ.
$$
若需转换为角分（$1^\circ = 60'$）：
$$
0.0323^\circ \times 60 \approx 1.94'.
$$
因此，由弦长测量误差引起的圆心角误差约为 $0.0323^\circ$（或约 $1.94'$）。
难度：★★☆☆☆