同济高数 第3章 第3-1-1题

[AI解答]

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步骤1：验证函数在区间上的连续性
函数 $ y = \ln(\sin x) $ 由初等函数复合而成，在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ 上，$\sin x > 0$，因此函数在该闭区间上连续。

步骤2：验证函数在区间内的可导性
在开区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$ 内，$\sin x > 0$，且
$$
y' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x
$$
存在，故函数在开区间内可导。

步骤3：检查端点函数值是否相等
计算：
$$
y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \ln\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \ln\frac{1}{2}
$$
$$
y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \ln\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \ln\frac{1}{2}
$$
显然 $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = y\left(\frac{5\pi}{6}\right)$，满足罗尔定理的条件。

**步骤4：求导并寻找满足 $f'(\xi)=0$ 的点**
由 $y' = \cot x = 0$，得
$$
\cot \xi = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos \xi = 0
$$
在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$ 内，解得
$$
\xi = \frac{\pi}{2}
$$
且 $\frac{\pi}{2} \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$，因此存在 $\xi = \frac{\pi}{2}$ 使得 $f'(\xi)=0$。

结论：罗尔定理对函数 $y = \ln\sin x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ 上成立。

难度：★☆☆☆☆