同济高数 第3章 第3-3-3题

[AI解答]

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我们要求函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在 $ x_0 = 4 $ 处展开为带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式。
即展开到 $ n = 3 $ 次项，余项为第 4 阶拉格朗日余项。

第一步：计算各阶导数
设
$$
f(x) = x^{\frac{1}{2}}
$$
则
$$
f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}, \quad
f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}}, \quad
f'''(x) = \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}}, \quad
f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16} x^{-\frac{7}{2}}
$$

**第二步：在 $ x_0 = 4 $ 处取值**
$$
f(4) = 2
$$
$$
f'(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$
$$
f''(4) = -\frac{1}{4} \cdot 4^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{32}
$$
$$
f'''(4) = \frac{3}{8} \cdot 4^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{256}
$$

第三步：写出泰勒公式（到 3 阶）
泰勒公式为：
$$
f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} \frac{f^{(k)}(4)}{k!}(x-4)^k + R_3(x)
$$
其中拉格朗日余项：
$$
R_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-4)^4, \quad \xi \text{ 介于 } 4 \text{ 与 } x \text{ 之间}
$$

代入数值：
$$
f(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) + \frac{-\frac{1}{32}}{2!}(x-4)^2 + \frac{\frac{3}{256}}{3!}(x-4)^3 + R_3(x)
$$
计算系数：
$$
\frac{-\frac{1}{32}}{2} = -\frac{1}{64}, \quad
\frac{\frac{3}{256}}{6} = \frac{3}{1536} = \frac{1}{512}
$$
因此：
$$
\sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 + R_3(x)
$$

第四步：写出余项
$$
R_3(x) = \frac{-\frac{15}{16}\xi^{-\frac{7}{2}}}{24} (x-4)^4
= -\frac{15}{384} \xi^{-\frac{7}{2}} (x-4)^4
= -\frac{5}{128} \xi^{-\frac{7}{2}} (x-4)^4
$$
其中 $\xi$ 介于 4 与 $x$ 之间。

最终结果：
$$
\boxed{\sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac{1}{512}(x-4)^3 - \frac{5}{128}\xi^{-\frac{7}{2}}(x-4)^4}
$$
其中 $\xi$ 介于 4 与 $x$ 之间。

难度：★★☆☆☆