同济高数 第3章 第3-3-5题
📝 题目
5．求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $x+1$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x_0 = -1 $ 处展开为带有拉格朗日余项的 $ n $ 阶泰勒公式，即按 $ (x+1) $ 的幂展开。
第一步：计算各阶导数
设
$$
f(x) = x^{-1}
$$
则
$$
f'(x) = -x^{-2}, \quad f''(x) = 2x^{-3}, \quad f'''(x) = -6x^{-4}
$$
一般地，
$$
f^{(k)}(x) = (-1)^k k! \, x^{-(k+1)}
$$
在 $ x_0 = -1 $ 处：
$$
f^{(k)}(-1) = (-1)^k k! \, (-1)^{-(k+1)} = (-1)^k k! \cdot (-1)^{k+1} = (-1)^{2k+1} k! = -k!
$$
因为 $(-1)^{2k+1} = -1$。
所以
$$
f^{(k)}(-1) = -k!
$$
第二步：写出泰勒公式
泰勒公式为
$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(-1)}{k!} (x+1)^k + R_n(x)
$$
代入 $ f^{(k)}(-1) = -k! $ 得：
$$
\frac{f^{(k)}(-1)}{k!} = -1
$$
因此多项式部分为
$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)(x+1)^k = -\sum_{k=0}^{n} (x+1)^k
$$
注意 $ k=0 $ 时 $ (x+1)^0 = 1 $，所以首项为 $-1$，而 $ f(-1) = -1 $，一致。
第三步：拉格朗日余项
拉格朗日余项公式为
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x+1)^{n+1}
$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $-1$ 之间。
由前面导数公式：
$$
f^{(n+1)}(\xi) = (-1)^{n+1} (n+1)! \, \xi^{-(n+2)}
$$
代入得
$$
R_n(x) = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)! \, \xi^{-(n+2)}}{(n+1)!} (x+1)^{n+1}
= (-1)^{n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{\xi^{\,n+2}}
$$
第四步：写出完整结果
$$
\boxed{\frac{1}{x} = -\sum_{k=0}^{n} (x+1)^k + (-1)^{n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{\xi^{\,n+2}}}
$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $-1$ 之间。
难度：★★☆☆☆
（主要考察泰勒公式展开与导数规律，计算量不大，但需注意符号处理）