同济高数 第3章 第3-3-9题
📝 题目
9．应用 3 阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差：
（1）$\sqrt[3]{30}$ ；
（2） $\sin 18^{\circ}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1）求 $\sqrt[3]{30}$ 的近似值并估计误差。
将 $30$ 写成 $27 + 3$，即
$$
\sqrt[3]{30} = \sqrt[3]{27(1 + \frac{3}{27})} = 3 \sqrt[3]{1 + \frac{1}{9}}.
$$
令 $x = \frac{1}{9}$，考虑函数 $f(x) = (1+x)^{1/3}$ 在 $x=0$ 处的 3 阶泰勒展开。
已知
$$
f(x) = (1+x)^{\frac{1}{3}},\quad f(0)=1,
$$
$$
f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}},\quad f'(0)=\frac{1}{3},
$$
$$
f''(x) = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}},\quad f''(0)=-\frac{2}{9},
$$
$$
f'''(x) = \frac{10}{27}(1+x)^{-\frac{8}{3}},\quad f'''(0)=\frac{10}{27}.
$$
3 阶泰勒公式（带拉格朗日余项）为
$$
(1+x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 + R_3(x),
$$
其中
$$
R_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4,\quad \xi \in (0,x).
$$
计算
$$
f^{(4)}(x) = -\frac{80}{81}(1+x)^{-\frac{11}{3}}.
$$
因此
$$
|R_3(x)| = \frac{80}{81 \cdot 24}(1+\xi)^{-\frac{11}{3}} x^4 \le \frac{80}{1944} x^4 = \frac{10}{243} x^4.
$$
代入 $x = \frac{1}{9}$，得
$$
\sqrt[3]{1+\frac{1}{9}} \approx 1 + \frac{1}{27} - \frac{1}{729} + \frac{5}{59049}.
$$
计算数值：
$$
1 + \frac{1}{27} \approx 1.037037037,\quad -\frac{1}{729} \approx -0.001371742,\quad \frac{5}{59049} \approx 0.000084656.
$$
求和得
$$
1.037037037 - 0.001371742 = 1.035665295,\quad +0.000084656 = 1.035749951.
$$
乘以 3 得
$$
\sqrt[3]{30} \approx 3 \times 1.035749951 = 3.107249853.
$$
误差估计：
$$
|R_3| \le \frac{10}{243} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^4 = \frac{10}{243 \cdot 6561} = \frac{10}{1594323} \approx 6.27 \times 10^{-6}.
$$
乘以 3 后，误差不超过 $1.88 \times 10^{-5}$。
（2）求 $\sin 18^\circ$ 的近似值并估计误差。
首先将角度化为弧度：
$$
18^\circ = \frac{\pi}{10} \approx 0.314159265.
$$
取 $x = \frac{\pi}{10}$，$\sin x$ 的 3 阶泰勒公式为
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + R_3(x),
$$
其中拉格朗日余项
$$
R_3(x) = \frac{\sin^{(4)}(\xi)}{4!} x^4 = \frac{\sin \xi}{24} x^4,\quad \xi \in (0,x).
$$
由于 $|\sin \xi| \le 1$，有
$$
|R_3(x)| \le \frac{x^4}{24}.
$$
代入 $x = 0.314159265$，
$$
x^2 \approx 0.098696,\quad x^3 \approx 0.031006,\quad x^4 \approx 0.009741.
$$
因此
$$
\sin 18^\circ \approx 0.314159265 - \frac{0.031006}{6} = 0.314159265 - 0.005167667 \approx 0.308991598.
$$
误差：
$$
|R_3| \le \frac{0.009741}{24} \approx 0.0004059.
$$
实际上更精确的 $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \approx 0.309016994$，与近似值相差约 $2.5\times 10^{-5}$，远小于误差上界，说明上界估计较保守。
难度评级：★★☆☆☆