同济高数 第3章 第3-4-13题
📝 题目
13．问 $a, b$ 为何值时，点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}$ 的拐点？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知曲线方程为
$$
y = a x^{3} + b x^{2}
$$
拐点处需满足二阶导数为零且在该点左右二阶导数变号。
首先求一阶导数：
$$
y' = 3a x^{2} + 2b x
$$
再求二阶导数：
$$
y'' = 6a x + 2b
$$
若点 $(1,3)$ 是拐点，则必须满足两个条件：
1. 该点在曲线上，即 $x=1$ 时 $y=3$：
$$
a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} = a + b = 3
$$
2. 该点处二阶导数为零：
$$
y''(1) = 6a \cdot 1 + 2b = 6a + 2b = 0
$$
化简得
$$
3a + b = 0
$$
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = 3 \\
3a + b = 0
\end{cases}
$$
两式相减得：
$$
(3a + b) - (a + b) = 0 - 3 \quad\Rightarrow\quad 2a = -3
$$
所以
$$
a = -\frac{3}{2}
$$
代入 $a + b = 3$ 得：
$$
-\frac{3}{2} + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{9}{2}
$$
还需要验证在 $x=1$ 左右二阶导数是否变号。
此时
$$
y'' = 6\left(-\frac{3}{2}\right)x + 2\left(\frac{9}{2}\right) = -9x + 9 = 9(1 - x)
$$
当 $x<1$ 时，$y''>0$；当 $x>1$ 时，$y''<0$，符号确实改变，因此 $(1,3)$ 是拐点。
因此
$$
\boxed{a=-\frac{3}{2},\quad b=\frac{9}{2}}
$$
难度：★★☆☆☆