同济高数 第3章 第3-4-3题

[AI解答]

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我们逐一求导并判断单调区间。

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（1）$y=2x^3-6x^2-18x-7$

求导：
$$
y' = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x^2 - 2x - 3) = 6(x-3)(x+1)
$$
令 $y'=0$ 得 $x=-1,\;x=3$。

符号分析：
- 当 $x<-1$，$y'>0$，函数单调递增；
- 当 $-1- 当 $x>3$，$y'>0$，单调递增。

单调区间：
$$
(-\infty,-1] \uparrow,\quad [-1,3] \downarrow,\quad [3,+\infty) \uparrow
$$

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（2）$y=2x+\frac{8}{x},\;x>0$

求导：
$$
y' = 2 - \frac{8}{x^2} = \frac{2x^2-8}{x^2} = \frac{2(x^2-4)}{x^2}
$$
令 $y'=0$ 得 $x=2$（$x>0$）。

符号：
- $0- $x>2$，$y'>0$，递增。

单调区间：
$$
(0,2] \downarrow,\quad [2,+\infty) \uparrow
$$

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（3）$y=\frac{10}{4x^3-9x^2+6x}$

记分母 $g(x)=4x^3-9x^2+6x = x(4x^2-9x+6)$。
判别式 $\Delta=81-96<0$，所以二次因子恒正，分母零点仅 $x=0$。

求导（用商法则或复合）：
$$
y' = -10 \cdot \frac{g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
其中
$$
g'(x)=12x^2-18x+6 = 6(2x^2-3x+1)=6(2x-1)(x-1)
$$
因此
$$
y' = -\frac{60(2x-1)(x-1)}{[g(x)]^2}
$$
分母平方恒正，符号由分子决定。

令 $y'=0$ 得 $x=\frac12,\;x=1$。注意定义域 $x\neq0$。

符号分析（注意负号）：
- $x<0$：$(2x-1)<0,\;(x-1)<0$，乘积正，加负号得负，递减；
- $0- $\frac120,\;(x-1)<0$，乘积负，加负号得正，递增；
- $x>1$：乘积正，加负号得负，递减。

单调区间：
$$
(-\infty,0)\downarrow,\;(0,\tfrac12]\downarrow,\;[\tfrac12,1]\uparrow,\;[1,+\infty)\downarrow
$$

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（4）$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

求导：
$$
y' = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
= \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} >0
$$
导数恒正，定义域 $\mathbb{R}$，故在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增。

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（5）$y=(x-1)(x+1)^3$

求导：
$$
y' = (x+1)^3 + (x-1)\cdot 3(x+1)^2 = (x+1)^2[(x+1)+3(x-1)] = (x+1)^2(4x-2)
$$
即
$$
y' = 2(2x-1)(x+1)^2
$$
令 $y'=0$ 得 $x=-1$（二重根，符号不变），$x=\frac12$。

符号：
- $x<\frac12,\;x\neq-1$：$(2x-1)<0$，$(x+1)^2\ge0$，故 $y'<0$（除 $x=-1$ 处为零）；
- $x>\frac12$：$y'>0$。

因此单调递减区间 $(-\infty,\frac12]$，单调递增区间 $[\frac12,+\infty)$。
点 $x=-1$ 不影响单调性。

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（6）$y=\sqrt[3]{(2x-a)(a-x)^2},\;a>0$

设 $y=[(2x-a)(a-x)^2]^{1/3}$。
先对内部函数 $u=(2x-a)(a-x)^2$ 求导：

令 $u=(2x-a)(a-x)^2$，则
$$
u' = 2(a-x)^2 + (2x-a)\cdot 2(a-x)(-1) = 2(a-x)^2 -2(2x-a)(a-x)
$$
提取 $2(a-x)$：
$$
u' = 2(a-x)[(a-x) - (2x-a)] = 2(a-x)(a-x-2x+a) = 2(a-x)(2a-3x)
$$
于是
$$
y' = \frac13 u^{-2/3} \cdot u' = \frac{2(a-x)(2a-3x)}{3\,u^{2/3}}
$$
分母恒正（除零点外），符号由分子决定。

零点：$x=a,\;x=\frac{2a}{3}$。注意定义域全体实数（奇次根号）。

符号分析：
- $x<\frac{2a}{3}$：$(a-x)>0,\;(2a-3x)>0$，乘积正，$y'>0$，递增；
- $\frac{2a}{3}0,\;(2a-3x)<0$，乘积负，$y'<0$，递减；
- $x>a$：$(a-x)<0,\;(2a-3x)<0$，乘积正，$y'>0$，递增。

单调区间：
$$
(-\infty,\tfrac{2a}{3}] \uparrow,\quad [\tfrac{2a}{3},a] \downarrow,\quad [a,+\infty) \uparrow
$$

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（7）$y=x^n e^{-x},\;n>0,\;x\ge0$

求导：
$$
y' = n x^{n-1}e^{-x} - x^n e^{-x} = x^{n-1}e^{-x}(n-x)
$$
令 $y'=0$ 得 $x=n$（$x=0$ 可能为边界）。

符号：
- $0\le x0$，$y'>0$，递增；
- $x>n$：$y'<0$，递减。

单调区间：
$$
[0,n] \uparrow,\quad [n,+\infty) \downarrow
$$

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（8）$y=x+|\sin 2x|$

函数含绝对值，需分区间。
$\sin 2x \ge 0$ 当 $2x\in[2k\pi,\;(2k+1)\pi]$，即 $x\in[k\pi,\;k\pi+\frac{\pi}{2}]$；
$\sin 2x <0$ 时，$x\in(k\pi+\frac{\pi}{2},\;(k+1)\pi)$。

在 $\sin 2x\ge0$ 区间：
$$
y = x+\sin 2x,\quad y' = 1+2\cos 2x
$$
令 $y'=0$ 得 $\cos 2x = -\frac12$，即 $2x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi$ 或 $\frac{4\pi}{3}+2k\pi$，
即 $x = \frac{\pi}{3}+k\pi$ 或 $x=\frac{2\pi}{3}+k\pi$。
但需落在 $\sin 2x\ge0$ 区间内：
- $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ 在区间 $[k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}]$ 内（因为 $\frac{\pi}{3}<\