同济高数 第3章 第3-7-*11题

[AI解答]

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我们需要求抛物线 $ y^2 = 2px $ 的渐屈线方程。渐屈线是曲线的曲率中心轨迹。

步骤1：参数化曲线
令参数 $ t $，设
$$
x = \frac{p}{2} t^2, \quad y = p t
$$
验证：
$$
y^2 = p^2 t^2 = 2p \cdot \frac{p}{2} t^2 = 2p x
$$
满足方程。

步骤2：求一阶、二阶导数
$$
x'(t) = p t, \quad y'(t) = p
$$
$$
x''(t) = p, \quad y''(t) = 0
$$

步骤3：曲率半径与曲率中心公式
曲率半径公式为
$$
R = \frac{\left( (x')^2 + (y')^2 \right)^{3/2}}{|x' y'' - y' x''|}
$$
计算分子：
$$
(x')^2 + (y')^2 = (p t)^2 + p^2 = p^2 (t^2 + 1)
$$
所以
$$
\left( (x')^2 + (y')^2 \right)^{3/2} = p^3 (t^2 + 1)^{3/2}
$$
分母：
$$
x' y'' - y' x'' = (p t)(0) - (p)(p) = -p^2
$$
取绝对值：
$$
| -p^2 | = p^2
$$
因此
$$
R = \frac{p^3 (t^2+1)^{3/2}}{p^2} = p (t^2+1)^{3/2}
$$

步骤4：曲率中心坐标公式
曲率中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为
$$
\bar{x} = x - \frac{y' ( (x')^2 + (y')^2 )}{x' y'' - y' x''}
$$
$$
\bar{y} = y + \frac{x' ( (x')^2 + (y')^2 )}{x' y'' - y' x''}
$$
代入已知量：
$$
(x')^2 + (y')^2 = p^2 (t^2+1)
$$
分母 $ x' y'' - y' x'' = -p^2 $。

先计算 $\bar{x}$：
$$
\bar{x} = \frac{p}{2} t^2 - \frac{p \cdot p^2 (t^2+1)}{-p^2}
= \frac{p}{2} t^2 - \frac{p^3 (t^2+1)}{-p^2}
$$
化简：
$$
\frac{p^3 (t^2+1)}{-p^2} = -p(t^2+1)
$$
减去这个值：
$$
\bar{x} = \frac{p}{2} t^2 - \big( -p(t^2+1) \big) = \frac{p}{2} t^2 + p(t^2+1)
$$
$$
= \frac{p}{2} t^2 + p t^2 + p = \frac{3p}{2} t^2 + p
$$

再计算 $\bar{y}$：
$$
\bar{y} = p t + \frac{(p t) \cdot p^2 (t^2+1)}{-p^2}
= p t + \frac{p^3 t (t^2+1)}{-p^2}
$$
$$
= p t - p t (t^2+1) = p t - p t^3 - p t = -p t^3
$$

**步骤5：消去参数 $t$**
由 $\bar{x} = \frac{3p}{2} t^2 + p$，得
$$
t^2 = \frac{2(\bar{x} - p)}{3p}
$$
而 $\bar{y} = -p t^3$，所以
$$
\bar{y}^2 = p^2 t^6 = p^2 \left( t^2 \right)^3
$$
代入 $t^2$：
$$
\bar{y}^2 = p^2 \left( \frac{2(\bar{x} - p)}{3p} \right)^3
= p^2 \cdot \frac{8 (\bar{x} - p)^3}{27 p^3}
= \frac{8 (\bar{x} - p)^3}{27 p}
$$
因此渐屈线方程为
$$
\boxed{27 p y^2 = 8 (x - p)^3}
$$
（这里 $x,y$ 表示曲率中心的坐标，即渐屈线的变量。）

难度评级：★★★☆☆
（需要参数化、曲率公式推导及消参，计算量中等，但思路清晰。）