同济高数 第3章 第3-8-2题
📝 题目
2．试证明方程 $x^{5}+5 x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 ．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：证明存在唯一实根
令函数 $ f(x) = x^5 + 5x + 1 $，它在 $\mathbb{R}$ 上连续可导。
计算区间端点值：
$$
f(-1) = (-1)^5 + 5(-1) + 1 = -1 - 5 + 1 = -5 < 0
$$
$$
f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 > 0
$$
由连续函数的零点定理，存在至少一个 $\xi \in (-1, 0)$ 使得 $ f(\xi) = 0 $。
再考察导数：
$$
f'(x) = 5x^4 + 5 = 5(x^4 + 1) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
$$
因此 $ f(x) $ 严格单调递增，故方程在 $(-1,0)$ 内至多有一个实根。
综上，方程在 $(-1,0)$ 内有且仅有一个实根。
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第二步：用切线法（牛顿法）求近似根，误差不超过 0.01
切线法迭代公式为：
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
其中
$$
f(x) = x^5 + 5x + 1, \quad f'(x) = 5x^4 + 5
$$
取初始值 $ x_0 = -0.2 $（因为 $ f(-0.2) = (-0.2)^5 + 5(-0.2) + 1 = -0.00032 - 1 + 1 = -0.00032 < 0 $，而 $ f(0) > 0 $，根靠近 -0.2）。
第一次迭代：
$$
f(-0.2) = -0.00032, \quad f'(-0.2) = 5 \times (0.0016) + 5 = 0.008 + 5 = 5.008
$$
$$
x_1 = -0.2 - \frac{-0.00032}{5.008} \approx -0.2 + 0.0000639 \approx -0.199936
$$
第二次迭代：
计算 $ f(-0.199936) $：
先计算 $ (-0.199936)^5 $：
$$
(-0.199936)^2 \approx 0.0399744, \quad (-0.199936)^4 \approx (0.0399744)^2 \approx 0.00159795
$$
$$
(-0.199936)^5 \approx -0.00159795 \times 0.199936 \approx -0.0003195
$$
所以
$$
f(x_1) \approx -0.0003195 + 5 \times (-0.199936) + 1 = -0.0003195 - 0.99968 + 1 \approx -0.0000005
$$
$$
f'(x_1) = 5 \times (0.00159795) + 5 \approx 0.00798975 + 5 = 5.00798975
$$
$$
x_2 = -0.199936 - \frac{-0.0000005}{5.00799} \approx -0.199936 + 0.0000001 \approx -0.1999359
$$
此时两次迭代结果相差约 $ 0.0000001 $，远小于 0.01，因此取近似根为：
$$
\boxed{-0.20}
$$
（精确到小数点后两位，误差不超过 0.01）
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难度评级：★★☆☆☆
（涉及零点存在唯一性证明及一次牛顿迭代计算，步骤清晰，计算量较小）