同济高数 第4章 第4-3-14题
📝 题目
14． $\displaystyle{\int} x \sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分：
$$
\int x \sin x \cos x \, \mathrm{d}x
$$
第一步：化简被积函数
利用二倍角公式 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，则原积分化为：
$$
\int x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int x \sin 2x \, \mathrm{d}x
$$
第二步：使用分部积分法
令
$$
u = x, \quad \mathrm{d}v = \sin 2x \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = -\frac{1}{2} \cos 2x
$$
分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$ 给出：
$$
\int x \sin 2x \, \mathrm{d}x = x \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) \mathrm{d}x
$$
即
$$
= -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, \mathrm{d}x
$$
第三步：计算剩余积分
$$
\int \cos 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \sin 2x
$$
因此
$$
\int x \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C
$$
**第四步：乘以系数 $\frac{1}{2}$**
原积分结果为：
$$
\frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \right) + C
= -\frac{x}{4} \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C
$$
最终答案
$$
\boxed{-\frac{x}{4}\cos 2x + \frac{1}{8}\sin 2x + C}
$$
难度：★☆☆☆☆
（仅需一次化简与一次分部积分，步骤清晰简单）