同济高数 第4章 第4-3-19题
📝 题目
19． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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本题要求计算不定积分：
$$
\int e^{\sqrt[3]{x}} \, dx
$$
步骤1：变量代换
令
$$
t = \sqrt[3]{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^3
$$
则
$$
dx = 3t^2 \, dt
$$
步骤2：代入积分
原积分化为：
$$
\int e^{t} \cdot 3t^2 \, dt = 3 \int t^2 e^{t} \, dt
$$
步骤3：分部积分
对 $\int t^2 e^{t} dt$ 使用分部积分法。
设
$$
u = t^2, \quad dv = e^{t} dt
$$
则
$$
du = 2t \, dt, \quad v = e^{t}
$$
于是
$$
\int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - \int 2t e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2 \int t e^{t} dt
$$
步骤4：再次分部积分
对 $\int t e^{t} dt$ 再次分部积分：
设
$$
u = t, \quad dv = e^{t} dt
$$
则
$$
du = dt, \quad v = e^{t}
$$
于是
$$
\int t e^{t} dt = t e^{t} - \int e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C_1
$$
步骤5：回代结果
代入上一步：
$$
\int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2\left( t e^{t} - e^{t} \right) + C
= t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2e^{t} + C
$$
步骤6：乘以系数并回代变量
原积分：
$$
3 \int t^2 e^{t} dt = 3\left( t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2e^{t} \right) + C
$$
将 $t = \sqrt[3]{x}$ 代回：
$$
= 3 e^{\sqrt[3]{x}} \left( (\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2 \right) + C
$$
即：
$$
\boxed{3 e^{\sqrt[3]{x}} \left( x^{2/3} - 2 x^{1/3} + 2 \right) + C}
$$
难度：★★☆☆☆
（主要考察换元法与分部积分法的基本应用，计算量适中，思路直接）