同济高数 第4章 第4-5-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{4 x^{2}-9}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{4 x^{2}-9}} .
$$
第一步：化为标准形式
观察到分母为 $\sqrt{4x^2 - 9}$，可以写成
$$
\sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{4\left(x^2 - \frac{9}{4}\right)} = 2\sqrt{x^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}.
$$
因此原积分为
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{2\sqrt{x^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}} = \frac12 \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}} .
$$
第二步：应用积分公式
已知基本积分公式：
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C .
$$
这里 $a = \frac{3}{2}$，所以
$$
\frac12 \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}} = \frac12 \ln\left| x + \sqrt{x^2 - \frac{9}{4}} \right| + C .
$$
第三步：化简结果
因为 $\sqrt{x^2 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{4x^2 - 9}}{2}$，所以也可以写成
$$
\frac12 \ln\left| x + \frac{\sqrt{4x^2 - 9}}{2} \right| + C .
$$
或者利用对数性质写成
$$
\frac12 \ln\left| 2x + \sqrt{4x^2 - 9} \right| + C' ,
$$
其中 $C' = C - \frac12 \ln 2$，但通常保留第一种形式即可。
最终答案
$$
\boxed{\displaystyle \frac12 \ln\left| x + \sqrt{x^2 - \frac{9}{4}} \right| + C}
$$
或等价地
$$
\boxed{\displaystyle \frac12 \ln\left| 2x + \sqrt{4x^2 - 9} \right| + C}.
$$
难度：★☆☆☆☆（直接套用基本积分公式，仅需简单代数变形）